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1、二、最大值与最小值一、函数的极值及其求法第五节函数的极值与最大值最小值第三章三、最优化问题及其应用定义在其中当时,(1)(2)一、函数的极值及其求法且在处取得极值，那么根据上述定义和费马定理可得如下定理：定理1（极值的必要条件）设函数在处可导,则称为的极大值点,称为函数的极大值;则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点.注意:为极大值点为极小值点不是极值点例如,为极大值点,是极大值是极小值为极小值点,函数1)函数的极值是函数的局部性质.导数为0或2)对常见函数,极值可能出现在不存在的点.定
2、理2(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)点击图中任意处动画播放暂停求极值点和极值的步骤①求出函数的定义域以及导数;②求出的全部驻点以及使导数不存在的点；③考察导数在这些点邻近的变化情况,以便确定这些点是否为极值点.若是，再由定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值；④求出各极值点处的函数值，就得函数的全部极．以上步骤可通过列表辅助进行.例1的极值.解1)求导数2)求极值可疑点令得且有点不可导3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为求函数定理3(极
3、值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.例2求函数的极值.2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.解1)求导数定理4(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.证利用在点的泰勒公式,可得例如,所以不是极值点.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如:为极大值,但不满足定理2~定理4的条件.极值的判别法(定理
4、2~定理4)都是充分的.例2中二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)(小)特别:例3在闭区间上的最大值和最小值.且故函数在取最小值0;在及取最大值5.求函数解显然(k为某常数)例4AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运为使货物从B运到工20解设则令得又所以为唯一的极小值点,故AD=15km时运费最省.总运费(
5、目标函数)厂C的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取?km,公路,价之比为3:5,铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20最优化问题求解过程的一般步骤1）选择适当的变量作为自变量建立目标函数,并确定目标函数的实际定义域；2）在目标函数可导的条件下,求目标函数的驻点;3）进行必要的判别，通常并不要求做严格论证，只要笼统地讲出以下三点：·目标函数在定义域内可导；·驻点唯一；·根据实际意义可知，目标函数在定义域内的最值确实存在.即可断定所得驻点就是所求的最值点.三、最优化问题及其应用例5问矩形截面的高h和宽b
6、应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量(目标函数)为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,解用开始移动,例6克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题.设摩擦系数问力F与水平面夹角为多少时才可使力F的大小最小?设有质量为5kg的物体置于水平面上,受力F作解令解得而因而F取最小值.解即令则问题转化为求的最大值问题.清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例7设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据
7、问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于目标函数为解当取多大时，该容器有最大容积?的扇形，余下的部分卷折成一个圆锥形的容器,试问例8解它刚好就是卷折成的圆锥形容器的低圆之周长，所以其半径在一半径为R的圆形铁皮上，减去一个圆心角为剪去一个圆心角为的扇形后，剩下的扇形铁皮的弧长为若记，则有高为这样就可以得到以为自变量的目标函数其定义域为对目标函数求导得由于目标函数在定义域内可微，驻点唯一，且根据问题的
8、实际意义可知最大值存在，所以所得驻点就是最大值点，此时对应的圆心角为令可得目标函数在定义域内唯一驻点这里没有直接以为自变量，是为了使计算简便.最简便的方法是是以h为自变量建立目标函数从而推得同样的结果易求得其最大值点为为自变量建立目标函数，可能会更方便些.说明：于是对应的有如果以存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.售出该产品x千件的收入是例9
