函数的极值与最大值最小值ppt课件.ppt

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1、解运用零点定理,故方程存在一根又在区间(0,1/a)上，f(x)单调递增；在区间(1/a，+)上，f(x)单调递减，所以方程lnx=ax有两个根.三、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方定义四、曲线凹凸的判定定理例6解注意到,五、曲线的拐点及其求法1.定义2.拐点的求法方法:例7解凹的凸的凹的拐点拐点例8解注意:一、函数极值的定义二、函数极值的求法§5函数的极值与最大值最小值三、最值的求法四、应用举例五、小结一、函数极值的定义定义函数的极

2、大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,定理2(第一充分条件)(是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)例1解列表讨论极大值极小值定理3(第二充分条件)注意：第二充分条件只适合于在x0处一阶导数为零而二阶导数不为零的情形；例2解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例3解三、最值的求法注：最值点不一定是内点.步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;注

3、意:1、如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)2、如果在实际问题中，f(x)在定义区间内只有一个驻点x0，且根据问题本身的实际情况,f(x)一定有最值且一定在区间的内部（开区间）获得，则x0就是最值点(最大值点或最小值点)。否则按一般函数处理。四、应用举例例4解计算比较得例5要建造一个体积V为50m3的有盖圆柱形水池，问水池的高和底的半径比例为多少时，用料最省？解(1)建立圆柱形水池表面积函数关系式则圆柱形水池表面积函数设水池底半径为r，高为h，则表面积由已知：得唯一驻点由问题的实际

4、意义，唯一驻点即为最小值点实际问题求最值一般步骤:(1)建立目标函数——实际问题中变量间的关系;(2)求最值——将实际问题转化为求目标函数在相应区间上的最值问题;根据已知条件，将目标函数表示成关于一个变量的函数。曲线的渐近线铅直渐近线水平渐近线斜渐近线二、图形描绘利用函数特性描绘其图形.基本步骤2、求驻点、拐点、间断点及导数不存在的点把函数的定义域划分成几个子区间.4、确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;3、确定函数的增减性及凹凸性（列表讨论）解非奇非偶函数,且无对称性.不存在拐点极值

5、点间断点列表三、弧微分规定：单调增函数如图，弧微分公式记：则有：四、曲率及曲率半径曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。))弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1.曲率的定义))yxo（设曲线C是光滑的，（定义曲线C在点M处的曲率2.曲率的计算公式注意:(1)直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.解显然,定义3.曲率半径1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.注意:2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平

6、坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).五、小结3.注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.5、实际问题求最值的一般步骤.4、求[a,b]上函数的最值；步骤；只有一个极值点的情况.1.极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.2.函数的极值必在驻点和不可导点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)思考题思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但下

7、一次习题课P1525(1.3.).8(1.3.).9(1.2.).P1691