【8A版】保角映射

《【8A版】保角映射》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、【MeiWei81-优质实用版文档】§4保角映射的物理应用拉普拉斯方程式为工程数学中最重要偏微分方程式之一，因为它应用于有关重力场、静电场、稳态热传导以及不可压缩流体之流动问题．本文所及者皆为二维问题，它们虽原三维空间内之物理系统，但是诸如位势中与空间第三坐标无关，因此拉普拉斯方程为（1）称曲线常数为等位线．定义1对于区域内的实值函数（或），如果其本身以及一阶、二阶偏导数连续而且满足（1），则称在内调和或是区域的调和函数．注意：对于定义中调和函数的光滑性要求可以减弱。可以说明调和性是共性映射（保角映射）下的不变性质，因为若是区域到的共

2、性映射，记，不难验证：．因此，若在内调和，必有在内调和．定义2设和在区域内调和，如果，则称是的共轭调和函数．称为的共轭微分．理论上说，一个调和函数的共轭函数的存在性虽有待讨论，但其共轭微分总是有意义的．定理1若是单连通区域内的调和函数，则其共轭调和函数一定存在，因此为【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】内的解析函数．证明例2已知调和函数，求其共轭调和函数及解析函数.解利用C-R方程，所以.因此，，比较两式可得：，有.因此，。从而得到解析函数【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质

3、实用版文档】.定义3设为区域内一调和函数，且为内的“共轭”调和函数，则为解析函数，称此为对应于实位势的复位势．说明：应用复位势有两优点．其一，就技术层面来说，解析函数较其实部，虚部函数更易处理．其二，就物理自身而言，有一很重要意义．据保角性，曲线为常数，与等位线为常数相交为直角，因此，具有电力线之方向等意义，故称力线．这些力线可表示带电粒子之运动轨迹．例1两平行板之间的位势求电位分别为和之无穷延伸两平行电板之间的电场的位势．解：由实际情况可知仅有有关．那么由，可得．将边界条件代入，，解得，易知的一个共轭调和函数，故复位势．力线为轴平行

4、之线．例2共轴圆柱之间的位势．解显然，仅与有关（对称性），而且与无关，因此考虑变量代换，对解更为便利．令，则由求偏导的链式法则，不难算得：【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】，因此，，（对求导），即。，即，所以，．因此．可以知道的一个“共轭”函数，故复位势，其力线为经原点的直线．例3非同心轴圆柱间的位势．解：这里主要用到两个知识点，其一，同心圆柱之势，如同例2是我们熟识的，因此如何寻找这两个二连通区域之间的共形映射是关键．我们前面学到过的分式线性变换可以做到这一点．其二，利用调和函数的共形映射不变性

5、．映射要求：．设，其中．合理的要求：。因此，【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】解（2）得，或（舍去）．故．由例2，平面上的复位势（为实数），因此实位势．由条件时，，时，．得．所以．实位势．请诸位根据所得结果，自己注明电力线方向．流体运动在平面任一点处，流体具有某固定之速度，可由向量值函数表示，，亦可由复变数示之：（1）可以证明在无旋不可压缩之条件下，存在解析函数（2）使得其流线为常数，而且速度．（3）【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】亦可证明，即（4）证明：①

6、先证滑旋函数．设曲线的参数方程为：．（以弧长为自然参数）设为在切线方向的分号，因此，则表示流体沿之环流．如果是简单闭曲线，由格林公式．双重积分内心被积函数称为涡旋函数，记为．（5）如若无旋流，则有．（6）由（6）并格林公式，可知如下定义之为一单位函数．而且，（7）②在不可压缩条件下，在无源，无汇之区域内，散度（8）至于散度函数可由读者自行推导查阅相关材料．因此将（7）代入（8）即得，这说明是个调和函数．【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】③取的共轭调和函数，则解析，故，因此．（10）例1绕过一直角的

7、流动。解问题的关键在于将一个“非典型”区域保角映射为一个“典型”区域。由于半平面上的流体平行流动较容易算出其复位势，所以通过幂函数将角域保角映射为上半平面。①在平面，因为在平面流速为常速，故，因此．②：将第I象限上半平面．，故流线常数．（双曲线）流速为，即，，因此每点的速率为．例2绕过一圆柱体的流动【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】解如上图，由单位圆外到整个复平面割去裂缝的保角映射为。如同例1，在平面复位势，因此，所以流线。速度，由上式我们可以看出，当点离远点较远时，流速近似于一常数，而方向则近乎

8、沿着水平方向。茹科夫斯基函数我们称函数为茹科夫斯基函数，其一般形式为【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】.（1）当时，。因此，，（2）消去参数得，（3）因此，当时，函数将圆周映射为上述