复方向导数与保角映射

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1、第29卷第4期大学数学Vo1．29，№．42013年8月COIIEGEMATHEMATICSAug．2013复方向导数与保角映射龙波涌(安徽大学数学科学学院，合肥230601)[摘要]定义了复方向导数，并用复方向导数分别给出了与C-R条件和共轭解析条件等价的条件；得到了解析与共轭解析新的充要条件．复方向导数的刻画使得保角映射的几何意义更加直观明了．[关键词]复方向导数；C-R条件；解析；共轭解析；保角映射[中图分类号]O174．5[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2013)04—0106—041引言本文中设，(2)一U+vi为复变函数，其中—u(x，)，73

2、一v(x，)，一z+yi．若，(z)为解析函数，则其中一个刻画解析的充要条件为定理设，(2)一“+vi在区域D内有定义，则，(z)在一z。+iyo∈D解析的充要条件为“一u(x，)，72一v(x，)在点(z。，Yo)可微，且满足“：，“y一一，(1)其中(1)称为C-R条件．王见定给出了共轭导数的概念如下定义Al_2设．厂(z)一U+vi在z。的某一邻域有定义．记△z—z一。，△W—f(z。+Az)一f(zo)．若lim△一些旦极限存在，则称-厂()在Zo处共轭可导，称此极限值为，(z)在ZO处的共轭导数，△一‘A记作f。()．若，(z)在区域D内处处共轭可导，则称厂()

3、在区域D内为共轭解析函数．关于共轭解析函数，有如下的充要条件定理B[设，(．z)=税+i在区域D内有定义，则，(z)在。一z。+iy。∈D共轭解析的充要条件为甜一u(x，)，一v(x，)在点(。，Y。)可微，且满足M一一，氍一．(2)文[2]中称(2)式为共轭解析条件．按照微积分中相关内容，平面上的方向导数可被定义为如下定义B设g—g(x，)在z。(z。，。)的某一邻域有定义，s一(cosO，sinO)为一方向．若极限1limI-g(xo+tcosO，Yo+tsinO)一g(x0，Y0)jf—O十存在，则称此极限为函数g—g(x，)在点(。，Y。)处沿方向s的方向导数，记

4、作g(zo，o)．一个关于方向导数熟知的公式为：若g—g(x，)可微，s一(cosO，sinO)，则g。=gcosO+gsinO．(3)在复平面上，任何两相交曲线在映射厂(z)作用下的像曲线如果既保持其夹角的大小又保持其方向[收稿日期]2011-08—01[基金项目]安徽大学质量212~(Jynm201229)；安徽大学博士科研启动基金第4期龙波涌：复方向导数与保角映射1O7不变，则称厂(z)为第一类保角的．若厂(z)为解析函数且f(z)≠0，则厂(z)为第一类保角的．任何两相交曲线在映射厂()作用下的像曲线如果仅保持其夹角的大小不变但其方向相反，则称厂(z)为第二类保角

5、的．若厂(z)为共轭解析函数且f。()≠0，则，(z)为第二类保角的．一般地，用解析函数的导数的辐角来刻画其保角性．文[23中亦用共轭导数的辐角来刻画共轭解析函数的第二保角性。除了用导数来刻画保角性外，还可以引用其他的变量来刻画保角性，但结果往往不甚如意．例如文E33想用梯度来刻画，有结论为：设，()一“-4-vi，其中St-=u(x，)，一(z，)．u(x，)，v(x，)的C-R条件等价于{Ilgrad“uI—lgrad—v1：．c⋯4应该指出的是，由于其证明过程不严谨，导致此结论错误．一个明显的反例便是：设．厂(z)一+vi为共轭解析函数，则u(x，)，v(x，)满足

6、(2)式的共轭解析条件，也满足(4)式，但并不满足(1)式的c—R条件．本文定义了复方向导数，并用复方向导数分别给出了与c—R条件和共轭解析条件等价的条件，从而得到了新的解析与共轭解析的充要条件．其结果推广了相关文献的结论．使用复方向导数来刻画使得保角映射的几何意义更加直观明了．2主要结论及证明定义1设厂()一“+i为复变函数，其中一u(x，)，=v(x，)，—z+，方向s一(cos~，sinO)．记△2一—z。一te，A计一，(。+△)一，(。)．若极限li存在，则称此极限为函数，(z)在点一0zo(o，Yo)处沿方向的方向导数，记作(z。，。)．显然，若存在，则f=+

7、iv．(5)定理1设厂(z)：+vi在区域D内有定义，：==u(x，)，一v(x，)均可微，则以下条件等价：(i)U一，U一一；(ii)对于任意方向s与，l，均有等式ef一f，其中a是方向s逆时针方向旋转至方向，l的角度；(iii)对于任意两相互垂直的方向与，l，均有U一，一一，其中由到，l是按逆时针方向．证仅需证明(i)(ii)(iii)(i)即可．(i)(ii)．设s一(cosO，sinO)，则，l一(cos(O+d)，sin(O+a))，则ef一(cosa+isina)(+iv)一(cosa+isina)[甜cosO+“