§6.1 保角映射的概念

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1、第六章保角映射本章将从几何角度来对解析函数做进一步研究，由解析函数所实现的映射，能把区域映射成区域，且在导数不为零的点的邻域，具有伸缩率和旋转角不变性，称为保角映射。本章先分析解析函数所构成映射的特性，再进一步研究保角映射。§6.1保角映射的概念一、解析函数的导数的几何意义1、导数的辐角的几何意义设函数　　　　在区域　内解析，且为　内过点　的任一条正向光滑曲线，参数方程为：其正向对应于参数　增大的方向，且先做以下规定：（1）有向曲线　上点　处的正向切线方向为该曲线在点　处切线的正向。的两切线正向间的夹角。的正向之间的夹角为：　与　交点处（2）相交于一点的两有向曲线　与角为　　　　。因此当　　

2、　　时，　与　轴正向的夹令曲线　在　平面上的像曲线为　，的参数方程为：由则　在　处与　轴正向的夹角为：则（见上图）即上式可理解为：　　　　将　平面中的将映射成　，处的切线正向与　处的切线正向之间的角度相差　　　　　，即　处的切线旋转　　　　可得到处的切线。旋转角。称　　　　为函数　　　　在　处的曲线　映射为　平面中的曲线　时，由前面的分析可知　　　　只与映射而与曲线　无关，有关，这个性质称为旋转角不变性。设过点　有两条有向光滑曲线的有向光滑曲线　　　。通过映射　　　　变为　平面的过设　　　在　处的夹角为　，在　处的夹角为多少？则考虑：该性质称为映射的保角性。2、导数的模的几何意义由于弧长的增

3、量。其中　　与　　分别表示曲线　和　上的即则　　　　表示了　在　处的无穷小的弧长与　在　处的无穷小的弧长之间的比值，称　　　　为　　　　在　处的伸缩率。显然　　　也与曲线　无关，这一性质称为伸缩率不变性。定理6.1设函数　　　　在区域　内解析，为　内一点，且　　　　　，在点　具有：则映射（1）保角性──在点　处两条曲线的夹角与映射后两条像曲线在　处的夹角不变；（2）伸缩率不变性──过点　的任一条曲经的伸缩率均为　　　。例1求映射　　　　　　　　在点处的旋转角，并说明该映射将平面内哪一部分放大？哪一部分缩小？解则所以　　在点　　　　　处的旋转角为。又因为当　　　　　时，当　　　　　时，的圆周内

4、部缩小，外部放大。所以该映射把以　　　为圆心，半径为二、保角映射的概念定义6.1性和伸缩率不变性，若函数　　　　在点　具有保角则称映射　　　　在是保角的。若函数　　　　在区域　内每一点都是保角的，的保角映射，则称　　　　是　内或称为第一类保角映射。定理6.2且则映射　　　在点　是保角的。若函数　　　　在点　解析，