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《高等代数§6.1集合·映射》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等代数课件第六章线性空间§6.1集合·映射·代数与几何教研室一、集合把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；常用大写字母A、B、C等表示集合；当a是集合A的元素时，就说a属于A，记作：；当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：1、概念组成集合的这些事物称为集合的元素．用小写字母a、b、c等表示集合的元素．☆关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些
2、事物作为一个整体来考虑的结果;集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.Remark:☆集合的表示方法：描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.例1例2N＝，2Z＝例3M＝｛x
3、x具有性质P｝M＝｛a1，a2，…，an｝2、集合间的关系☆如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，记作 ，（读作B包含于A）当且仅当☆空集：不含任何元素的集合，记为φ．注意：｛φ｝≠φ,空集是任意集合的子集☆如果A、B两集合含有完全相同
4、的元素，则称A与B相等，记作A＝B.A＝B当且仅当且3、集合间的运算交： ；并：显然有，1、证明等式:．证：显然，．又，∴，从而,．例题：故等式成立．2、已知，证明：又因，∴．又因，∴．证：1）此即，因此无论哪一种情况，都有.此即，但是二、映射设M、M´是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a，都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应,则称σ为称a´为a在映射σ下的象，而a´称为a在映射σ下的M到M´的一个映射，记作:或原象，记作σ(a)＝a´或1、定义①设映射,集合称之为
5、M在映射σ下的象，通常记作Imσ．②集合M到M自身的映射称为M的一个变换．显然，注例4判断下列M到M´对应法则是否为映射1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4（不是）（是）（不是）2）M＝Z，M´＝Z＋，σ：σ(n)＝
6、n
7、,τ：τ(n)＝
8、n
9、＋1,（不是）（是）σ：σ(a)＝a0，4）M＝P，M´＝，（P为数域）τ：τ(a)＝aE，（E为n级单位矩阵）5）M、M´为任意
10、两个非空集合，a0是M´中的一个固定元素.（是）（是）6）M＝M´＝P[x]（P为数域）σ：σ(f(x))＝f´(x)，（是）3）M＝，M´＝P，（P为数域）σ：σ(A)＝
11、A
12、，（是）例5M是一个集合，定义I：I(a)＝a，即I把M上的元素映到它自身，I是一个映射，例6任意一个在实数集R上的函数y＝f(x)都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是称I为M上的恒等映射或单位映射．映射的一个特殊情形．2、映射的乘积设映射，乘积定义为：(a)＝τ(σ(a))即相继施行σ和τ的结果，是M到M"的一个映射．①对于任意
13、映射，有②设映射，有注：3、映射的性质:设映射1）若，即对于任意，均存在（或称σ为映上的）；2）若M中不同元素的象也不同，即（或），则称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射,，使，则称σ是M到M´的一个满射（或称σ为1—1对应）例7判断下列映射的性质1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2（既不单射，也不是满射）τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝12）M=Z，M´＝Z＋，τ：τ(n)＝
14、n
15、＋1,（是满射，但不
16、是单射）3）M＝，M´＝P，（P为数域）σ：σ(A)＝
17、A
18、，（是满射，但不是单射）（双射）4）M＝P，M´＝P为数域,E为n级单位矩阵τ：τ(a)＝aE，（是单射，但不是满射）σ：σ(a)＝a0，（既不单射，也不是满射）6）M＝M´＝P[x]，P为数域σ：σ(f(x))＝f´(x)，（是满射，但不是单射）7）M是一个集合，定义I：I(a)＝a，8）M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,（双射）（双射）5）M、M´为任意非空集合， 为固定元素①对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应的充要条件是它们所含元素
19、的个数相同；②对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A的真子集），则A、B之间不可能存在1—1对应；但是对于无限集未必如此.注：如例7中的8），σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集．M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,4、可逆映射定义：设映射若有映射使得则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射，①若σ为可逆映射，则σ－1也为可逆映射，且（σ－1）－1＝σ．注：②为可逆映射，，
