高等代数与解析几何6.1

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1、高等代数与解析几何（下）主讲教师：陈翰林电话：137781224136089662（o）助课教师：李惠电话：15883784207（一）参考书1、高等代数与解析几何习题精解，陈志杰等编2、高等代数，张禾瑞或北京大学数学教研室编3、解析几何，吕林根编（二）辅导答疑与作业（三）成绩评定平时成绩20%（作业+出勤）其中测验20%期末考试60%上期内容回顾：上期内容回顾：一、神奇的初等变换二、丰富多彩的向来空间三、从多角度思考和分析问题，但要注意其本质联系第五章第五章线性空间与欧几线性空间与欧几里得空间里得空间#主要内容从具体的向来空间一般线性空间研

2、究更高级的向量空间——欧几里得空间=线性空间+内积欧氏空间的几何应用#两位重要的科学家欧几里得:古希腊科学家(公元前300年),著作有《几何原本》——科学史上第一个公里化体系。介绍第五公设与非欧几何。哈密顿(Hamilton，WilliamRowan)1805年8月4日生于爱尔兰都柏林，自幼聪明，被称为神童。很小成了孤儿，在叔叔的教育下，他3岁能读英语，会算术；5岁能译拉丁语、希腊语和希伯来语，并能背诵荷马史诗；13岁竟能流利地讲13种外语。14岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头。哈密顿自幼喜欢算术，计算很快．18

3、18年遇到美国“计算神童”Z．科耳本(Colburn)后对数学产生了更深厚的兴趣．并对天文学有强烈爱好，常用自己的望远镜观测大体；阅读了当时许多科学家的巨著，并指出拉普拉斯的著作《天体力学一个错误．同年开始进行科学研究工作，对曲线和曲面的性质进行了系列研究，并用于几何光学．他的报告送交爱尔兰科学院后，R．J．布林克莱(Brinkley)院士评论说：“这位年轻人现在是这个年龄(17岁)的第一数学家．”1823年7月7日，哈密顿以入学考试第一名的成绩进入著名的三一学院，得到正规的大学训练，后因成绩优异而多次获得学院的古典文学和科学的最高荣誉奖．他

4、在1823到1824年间完成了多篇有关几何学和光学的论文，其中在1924年12月送交爱尔兰皇家科学院会议的有关焦散曲线(caustics)的论文，引起科学界的重视．1827年6月10日，年仅22岁的哈密顿被任命为敦辛克天文台的皇家天文研究员和三一学院的天文学教授§1线性空间及其同构教学目的：使学生理解线性空间的定义及线性空间的同构.教学重点：线性空间的定义及线性空间的同构.线性空间是线性代数最本的概念之一,也是我们遇到的第一个抽象的概念.为了说明它的来源,我们先看几个熟悉的例子.例1.1在几何空间中,定义了向量的加法与标量乘法,且这两种运算满

5、足如下八条运算规则:dddddd(1)()ab++c=a+(b+c);dddd(2)ab+=b+a;d(3)存在零向量0满足dddaa+0;=dd(4)每个向量a都存在负向量b满足dddab+=0;dd(5)kl()a=(kl)a;ddd(6)()kl+=aka+la;dddd(7)ka()+=bka+kb;dd(8)1.aa=例1.2在数域K上的n维向量空间n中,定义了向K量的加法与标量乘法:设nαβ==(aa,,,??a),(b,b,,b)∈K,k∈K12nn12则α+β=+(,aba+b,?,a+b)1122nnkkα=(,aka,?,

6、ka)12n这两种运算也满足类似的八条运算规则.例1.3在数域K上的所有mn×矩阵构成的集合Mmn,()K中,定义了矩阵的加法与标量乘法,这两种运算也满足类似的八条运算规则.例1.4设End()V表示数域K上V到V的线性变换K构成的集合,在定义线性变换的加法以及数乘运算之后,易见,这两种运算也满足类似的八条运算规则.前面这几个例子,虽然所考虑的具体对象不同,但它们都有一个共同点,即都有两种运算——加法与标量乘法,且满足相同的八条运算规则.因此我们有必要抽象出向量空间最本质的属性,把具有这种属性的集合统一起来考虑,建立一个普遍适用的理论.定义1

7、.1设V是一个非空集合,K是一个数域.如果在V中定义了一个称为加法的代数运算,也就是说对于任意元素α,β∈V,存在唯一确定的元素γ∈V与之对应,叫做它们的和,记为γ=αβ+;在K与V之间定义了一个称为标量乘法的运算,也就是说对于任意kK∈,,α∈V存在唯一确定的元素δ∈V与之对应,叫做它们的标量乘积,记为δ=kα.如果这两种运算满足下面八条运算规则,就把V称为数域K上的线性空间(或者向量空间).V中的元素称为向量.(1)()α++βγ=α+(β+γ);(2)α+=ββ+α;(3)V中存在一个零向量0,使得对于任意的α∈V,都有α+0;=α(4

8、)对于任意的α∈V,都存在一个β∈V满足α+β=0β称为α的负向量;(5)kl()(α=kl)α;(6)()kl+=αkαα+l;(7)kk()α+=βα+kβ;(