高等代数§6.5 线性子空间

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1、一、线性子空间二、生成子空间§6.5线性子空间一、线性子空间1、线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间，集合若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间．注：①线性子空间也是数域P上一线性空间，它也②任一线性子空间的维数不能超过整个空间的有基与维数的概念.维数.2、线性子空间的判定，若W对于V中两种运算封闭，即则W是V的一个子空间．定理：设V为数域P上的线性空间，集合推论：V为数域P上的线性空间,则W是V的子空间∵，∴.且对，由数乘运算封闭，有，即W中元素的负元素就是

2、它在V中的负元素，4）成立．就是V中的零元，3）成立．由于，规则1）、2）、5）、6）、7）、8）是显然成立的．下证3）、4）成立．由加法封闭，有,即W中的零元证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则R[x]为V的一个子空间．例3P[x]n是P[x]的的线性子空间．例1设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合　　　　是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间.这两个子空间有时称为平凡子空间，

3、而其它的子空间称为非平凡子空间．的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数①(＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，；例4n元齐次线性方程组(＊)注②(＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.空间，称W为方程组(＊)的解空间．量乘法构成的线性空间是n维向量空间Pn的一个子例5判断Pn的下列子集合哪些是子空间：解：W1、W3是Pn的子空间，W2不是Pn的子空间.若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.事实上，W1是n元齐次线性方程组的解空间.所以，维W1＝n－1，①的一个基础解系①就是W1的一组基.而在W2中任取两个

4、向量　　　，设则故W2不是Pn的子空间.故，W3为V的一个子空间，且维W3＝n－1，则有其次，设下证W3是Pn的子空间.就是W3的一组基.例6设V为数域P上的线性空间，则W关于V的运算作成V的一个子空间．即　　　　　　的一切线性组合所成集合.称为V的由生成的子空间，二、一类重要的子空间——生成子空间定义：V为数域P上的线性空间，则子空间，记作．称　　　　　为　　　　　的一组生成元.例7在Pn中，为Pn的一组基，即Pn由它的一组基生成.类似地，还有事实上，任一有限维线性空间都可由它的一组基生成.有关结论1、设W为

5、n维线性空间V的任一子空间，是W的一组基，则有2、（定理3）1）；为线性空间V中的两组向量，则与等价．2）生成子空间的维数＝向量组的秩．证：1）若则对有　，从而　可被线性表出；同理每一个也可被　　　　　线性表出.所以，与等价．，可被　线性表出，从而可被线性表出，即反之，与等价．所以,同理可得，故，由§3定理1，2）设向量组的秩＝t，不妨设为它的一个极大无关组．因为与等价，就是的一组基，所以，的维数＝t．无关组，则推论：设　　　　　　是线性空间V中不全为零的一组向量，　　　　　　　　　是它的一个极大3、设　　　　　

6、为P上n维线性空间V的一组基，则　　　　　　　的维数＝秩(A).A为P上一个　　矩阵，若证：设秩(A)＝r，不失一般性，设A的前r列线性无关，并将这r列构成的矩阵记为A1，其余s-r列构成的矩阵记为A2，则A＝(A1,A2)，且秩(A1)＝秩(A)＝r，设　　　　　　　　　　　　即下证　　　　　　线性无关.是V的一组基，又秩(A1)＝r，∴方程组②只有零解，即②线性无关.从而任取将A的第j列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj，则则有即设从而有③而秩(Bj)＝r，∴③有非零解，故有不全为零的数故　　　　　　为　　　　

7、　　的极大无关组，所以　　　　　　　的维数＝r＝秩(A).线性相关.则向量组　　　　　与矩阵A的列向量组具有相同线性相关性.所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯阵来求向量组　　　　　的一个极大无关组，从而求出生成子空间　　　　　　　的维数与一组基.注：由证明过程可知，若　　　　　为V的一组基，为V的一组基．即在V中必定可找到n－m个向量设W为n维线性空间V的一个m维子空间，4、（定理4）为W的一组基，则这组向量必定可扩充，使为V的一组基．扩基定理证明：对n－m作数学归纳法．当n－m＝0时，即n＝m，定理成立．就是V的

8、一组基.假设当n－m＝k时结论成立.因n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，下面我们考虑n－m＝k＋1的情形．必定是线性无关的．既然　　　　　还不是V的一组基，它又是线性无关的，那么在V中必定有一个向量　　不能被线性表出，把它添加进去，则由定理3，子空间是m＋1维的．可以扩充为整个空间V的一组基．由归纳原理得证.由归纳假设，的基它扩充为P4的一组基，其中例8