高等代数与解析几何6.5

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1、§5正交变换与正交矩阵教学目的：理解正交变换与正交矩阵的概念,掌握正交变换与正交矩阵的性质.教学重点与难点：正交变换及其性质.一、正交变换（欧氏空间V的保持内积的线性变换）定义5.1欧氏空间V的线性变换A称为正交变换,如它保持向量的内积不变,即是说,对于任意的α,,β∈V有(()AAα,(βα))=(,β)例如,恒同变换是正交变换.从定义易见,正交变换的乘积仍然是正交变换.命题5.1设A是欧氏空间V的一个线性变换,于是下面三个命题是互相等价的:(1)A是正交变换;(2)A保持向量的长度不变,即A()α

2、α=,∀∈αV(3)A把规范正交基变成规范正交基,即如果η1,,…ηn是V的规范正交基,则AA()η,",(η)也是1nV的规范正交基.证明首先证明(1)与(2)等价.如果A是正交变换,则(()AAα,(αα))=(,α)两边开方即得A()α=α反过来,如果A保持向量的长度不变,那么(()AAα,(αα))=(,α)((AAβ),(ββ))=(,β)((AAα)++(βα),AA()(β))=(α+β,α+β)把上面最后一个等式展开,得(()AAα,(αα))+2(()AA,(β))+((Aβ),A(

3、β))=+(,αα)2(,αβ)+(β,β)再利用前面两个等式,就有(()AAα,(βα))=(,β)即是说,A是正交变换.再证(1)与(3)等价.设η,,…η是V的规范正交基,即1n⎧1,当时ij=(,ηη)==⎨(ij,1,2,".n)ij⎩0,当时ij≠如果A是正交变换,则⎧1,当时ij=((AAηη),())==⎨(i,j1,2,".n)ij⎩0,当时ij≠这就是说,AA()η,",(η)是规范正交基.反过来,1n如果AA()η,",(η)是规范正交基,那么,由1nα=xxηη++"11nnβ

4、=+yyηη"+11nn及Ax()α=A(ηη)++"xA()11nnAy()β=+A(ηη)"+yA()11nn即得(α,βα)=xy++"xy=(()A,A(β))11nn例如,在平面解析几何中,绕坐标原点O的旋转变换就是一个正交变换,因为这个线性变换保持向量的长度不变.二、正交矩阵（正交变换关于规范正交基的矩阵）设A是n维欧氏空间V的一个正交变换,η,,…η1n是V的一个规范正交基,A关于这个基的矩阵为⎛⎞aa"a11121n⎜⎟aa"aA=⎜⎟21222n⎜⎟###⎜⎟⎜⎟aa"a⎝⎠nn12

5、nn则A(η)=+aaηη+"+aηkk122k2nknA(η)=+aaηη+"+aηjj122j2njn由于A(η1),",A(ηn)也是规范正交基,故⎧1,当时kj=(A(ηη),A())=+aaaa+"+aa=⎨kj11kj2k2jnknj⎩0,当时kj≠也就是说TAA=E反过来,如果V的线性变换A关于V的规范正交基的T的矩阵A满足AA=E,则⎧1,当时k=j(A(ηη),A())=+aaaa+"+aa=⎨kj11kj2k2jnknj⎩0,当时k≠j这说明AA()η,",(η)是规范正交基,从而

6、A是正交1n变换.定义5.2如果n阶实矩阵A满足TAA=E则称A为正交矩阵.根据上述讨论,可得命题5.2欧氏空间V的线性变换A是正交变换的充必要条件是A关于规范正交基的矩阵是正交矩阵.显然,正交矩阵A的逆−1TA=A.−1命题5.3正交矩阵A的逆矩阵A也是正交矩阵.证明由−−11TTT−1−1()AA=(A)A==AAE即可得出结论.推论5.4正交变换是可逆的,且它的逆变换也是正交变换.命题5.5设A=()a是一个n阶实矩阵,那么下面ij五个命题是相互等价的:(1)A是正交矩阵;(2)−1TA=A;T

7、(3)AA=E;(4)A的每一列元素的平方和等于1,不同列的对应元素乘积之和等于0,即⎧1,当时k=jaa++aa"+aa=⎨11kj2k2jnknj⎩0,当时k≠j(5)A的每一行元素的平方和等于1,不同行的对于元素乘积之和等于0,即⎧1,当时k=jaa++aa"+aa=⎨kj11k2j2knjn⎩0,当时k≠j命题5.6正交矩阵的行列式等于±1.证明由TT21==EAAA=AA=即可得到.对应正交矩阵的行列式等于1的正交变换称为第一类正交变换,行列式等于−1的正交变换称为第二类正交变换.例1在平面

8、解析几何中,讨论绕坐标原点O的旋转变换及其矩阵。例2在平面上讨论镜射变换及其矩阵。