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时间:2018-05-23
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1、§2标准正交基§3同构§4正交变换§1定义与基本性质§6对称矩阵的标准形§8酉空间介绍§7向量到子空间的距离─最小二乘法小结与习题第九章欧氏空间§5子空间2021/7/19数学与计算科学学院§9.6对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题数学与计算科学学院一、实对称矩阵的一些性质引理1设A是实对称矩阵,则A的特征值皆为实数.证:设是A的任意一个特征值,则有非零向量满足数学与计算科学学院其中为的共轭复数,令又由A实对称,有数学与
2、计算科学学院由于 是非零复向量,必有故考察等式,数学与计算科学学院引理2设A是实对称矩阵,在n维欧氏空间 上定义一个线性变换 如下:则对任意 有或数学与计算科学学院证:取的一组标准正交基,则 在基 下的矩阵为A,即任取数学与计算科学学院即于是又 是标准正交基,数学与计算科学学院即有又注意到在 中二、对称变换1.定义则称 为对称变换.设 为欧氏空间V中的线性变换,如果满足数学与计算科学学院1)n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的:2.基本性质①实对称矩阵
3、可确定一个对称变换.一组标准正交基.事实上,设为V的定义V的线性变换 :则 即为V的对称变换.数学与计算科学学院②对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.为V的一组标准正交基,事实上,设 为n维欧氏空间V上的对称变换,为在这组基下的矩阵,即或数学与计算科学学院于是即所以A为对称矩阵.由 是对称变换,有数学与计算科学学院2)(引理3)对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间.对任取即证明:设 是对称变换,W为 的不变子空间.要证即证由W是 子空间,有因此故 也为 的不变子空间.数学与计算科
4、学学院1.(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量分别是属于的特征向量.则三、实对称矩阵的正交相似对角化是正交的.正交基下的矩阵,证:设实对称矩阵A为 上对称变换 的在标准是A的两个不同特征值,由数学与计算科学学院又即正交.(定理7)对 总有正交矩阵T,使有即2.数学与计算科学学院证:设A为 上对称变换 在标准正交基下的矩阵.由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系,只需证有n个特征向量作成的标准正交基即可.n=1时,结论是显然的.对 的维数n用归纳法.有一单位特征向量,其相应的特征
5、值为,即假设n-1时结论成立,对设其上的对称变换数学与计算科学学院设子空间显然W是 子空间,则也是子空间,且又对 有所以 是 上的对称变换.由归纳假设知有n-1个特征向量构成的一组标准正交基.数学与计算科学学院从而 就是 的一组标准正交基,又都是的特征向量.即结论成立.3.实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设(i)求出A的所有不同的特征值:其重数必满足;(ii)对每个,解齐次线性方程组数学与计算科学学院求出它的一个基础解系:它是A的属于特征值的特征子空间 的一组基.正交基
6、把它们按正交化过程化成 的一组标准(iii)因为互不相同,且就是V的一组标准正交基.所以数学与计算科学学院则T是正交矩阵,且将的分量依次作矩阵T的第1,2,…,n列,使 为对角形.例1.设求一正交矩阵T使成对角形.数学与计算科学学院解:先求A的特征值.A的特征值为(三重),数学与计算科学学院其次求属于的特征向量,即求解方程组得其基础解数学与计算科学学院把它正交化,得再单位化,得数学与计算科学学院这是特征值(三重)的三个单位正交特征向量,也即是特征子空间 的一组标准正交基.数学与计算科学
7、学院再求属于 的特征向量,即解方程组得其基础解数学与计算科学学院再单位化得这样 构成 的一组标准正交基,它们都是A的特征向量,正交矩阵数学与计算科学学院使得注:成立的正交矩阵不是唯一的.①对于实对称矩阵A,使而且对于正交矩阵T,还可进一步要求数学与计算科学学院事实上,如果由上述方法求得的正交矩阵T取正交矩阵则是正交矩阵且同时有数学与计算科学学院②如果不计较主对角线上元素的排列的次序,与实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的.③因为正交相似的矩阵也是互相合同的,所以可用实对称矩阵的
8、特征值的性质刻画其正定性:设 为实对称矩阵A的所有特征值(i)A为正定的(ii)A为半正定的(iii)A为负定(半负定)的数学与计算科学学院(iv)A为不定的且④实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数(重根按重数计).n-秩(A)是0为A的特征值的重数.数学与计算科学学院1.解析几何中主轴问题将上有心二次曲线或 上有心二次曲面通过坐标的旋转化成标准形,这个变换的矩阵是正交矩阵.四、实二次型的主轴问题2.任意n元实二次型的正交线性替换化标准形1)正交线性替换如果线性替换X=CY的
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