高等代数课件(北大版)第六章 线性空间§6.7

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1、§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间6/29/2021数学与计算科学学院§6.7子空间的直和一、直和的定义二、直和的判定三、多个子空间的直和6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院引入有两种情形：由维数公式设　　为线性空间V的两个子空间，此时即，　　　必含非零向量.6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和此时不含非零向量，即6

2、/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院一、直和的定义设　　为线性空间V的两个子空间，若和是唯一的，和　　　就称为直和，记作注:若有则①分解式　　　　　唯一的，意即中每个向量　的分解式6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如，R3的子空间这里，在和　　　中，向量的分解式不唯一，如所以和　　　不是直和.6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院而在和　　　中，向量(2,2,2)的分解式是唯一的，事实上，对故　　　是直和.都只有唯一分解

3、式：6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院二、直和的判定分解式唯一，即若1、(定理8)和　　　是直和的充要条件是零向量则必有证：必要性.是直和,的分解式唯一.而0有分解式6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院充分性.故　　　　是直和.设　　　　　，它有两个分解式有其中于是由零向量分解成唯一，且即的分解式唯一.6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院2、和　　　是直和则有即是直和.“　　”　任取证：“　　”　若于是零向量可表成由于　　　是直和，零向量分解式唯一，故6/29/20

4、21§6.7子空间的直和数学与计算科学学院证：由维数公式3、和　　　是直和有，是直和.（由2、得之）6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院总之，设　　　为线性空间V的子空间，则下面四个条件等价:2）零向量分解式唯一1）　　　是直和3）4）4、(定理10)设U是线性空间V的一个子空间，称这样的W为U的一个余子空间.则必存在一个子空间W，使6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院证：取U的一组基把它扩充为V的一组基则余子空间一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).注意：如，在R3中，设则但6/29/

5、2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院5、设分别是线性子空间的一组基，则是直和线性无关.证：由题设，若　　　　　　　　　　线性无关，则它是的一组基.从而有6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院反之,若　直和，则从而　　　　　　　　　　的秩为r＋s.所以　　　　　　　　　　线性无关.是直和.6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院1、定义中每个向量　的分解式三、推广　　多个子空间的直和都是线性空间V的子空间，若和是唯一的，则和　　　就称为直和，记作6/29/2021§6.7子空间的直和数

6、学与计算科学学院四个条件等价:2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定设　　　　　都是线性空间V的子空间，则下面1）　　　　是直和6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院例1、每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和.证：设　　　　　　是n维线性空间V的一组基,则而故得证.6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院例2、已知　　　　，设2）当　　　时，证：1）任取有是　的子空间.证明：1）　　　是　的子空间.6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院又对有从而有故　是　的子

7、空间.下证　是　的子空间.6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院又2）先证任取其中再证又　　　是　的子空间，6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院任取从而所以6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院练习1设V1、V2分别是齐次线性方程组①与②的证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系①②解空间：证明:6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院再解齐次线性方程组②.由即得②的一个基础解系考虑向量组6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院由于线性无关

8、，即它为Pn的一组基.又6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院2、和　　　　　　　是直和证:则练习：6/29/2021§6.7子空间的直和数学与计算科学学院则零向量还有一个分解式（*）在(*)式中，设最后一个不为0的向量是则(*)式变为这时，所以，