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《高等代数北大版教案-第章线性空间》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等代数北大版教案-第6章线性空间第六章线性空间§1集合映射一授课内容:§1集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义.三教学重点:集合映射的有关定义.四教学难点:集合映射的有关定义.五教学过程:1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义:(集合的交、并、差)设S是集合,A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集,记作A?B；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集,记做A?B；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集,记做AB.定义:(集合的映射)设A、B为集合.如果存在
2、法则f,使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素(记做f(a)),则称f是A到B的一个映射,记为f:A?B,a?f(a).如果f(a)?b?B,则b称为a在f下的像,a称为b在f下的原像.A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像,记做f(A),即f(A)??f(a)
3、a?A?.若?a?a'?A,都有f(a)?f(a'),则称f为单射.若?b?B,都存在a?A,使得f(a)?b,则称f为满射.如果f既是单射又是满射,则称f为双射,或称一一对应.2.求和号与求积号(1)求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个
4、数域K上n个数a1,a2,?,an,我们使用如下记号:·６０·a1?a2???an??ai,a1a2?an??ai.i?1i?1nn当然也可以写成a1?a2???an?(2)求和号的性质容易证明,1?i?n?ai,a1a2?an?1?i?n?ai.??ai???ai,?(ai?bi)??ai??bi,??aij???aij.i?1i?1i?1i?1i?1nnnnnnmmni?1j?1j?1i?1事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:a11a21?an1a12a22?an2?a1m?a2m???anm分别先按行和列求和,再求总和即可.§2线性空间的定义与简单性质一授课内
5、容：§2线性空间的定义与简单性质二教学目的：通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质.三教学重点：线性空间的定义与简单性质.四教学难点：线性空间的定义与简单性质.五教学过程：1.线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间)设V是一个非空集合,且V上有一个二元运算“+”(V?V?V),又设K为数域,V中的元素与K中的元素有运算数量·６１·乘法“?”(K?V?V),且“+”与“?”满足如下性质:1、加法交换律??,??V,有???????；2、加法结合律??,?,??V,有(???)?????(???)；3、存在“零元”,即存在0?V,使得???V,0????；4、存在负元,即???V,
6、存在??V,使得????0；5、“1律”1????；6、数乘结合律?k,l?K,??V,都有(kl)??k(l?)?l(k?)；7、分配律?k,l?K,??V,都有(k?l)??k??l?；8、分配律?k?K,?,??V,都有k(???)?k??k?,则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“?”的定义,不光与集合V有关.(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题4.1零元素唯一,任意元素的负元素唯一.证明:设0与0'均是零元素,则由零元素的性质,有0?0'?0?
7、0'；???V,设?,?'都是?的负向量,则??0???(?'??)????'?(???)???0??,于是命题得证.由于负向量唯一,我们用??代表?的负向量.定义4.2(减法)我们定义二元运算减法“-”如下:???定义为??(??).命题4.2线性空间中的加法和数乘满足如下性质:1、加法满足消去律???????????；2、可移项???????????；3、可以消因子k???且k?0,则??1?；k4、0???0,k?0?0,(?1)????.(3)线性空间的例子·６２·例4.1令V表示在(a,b)上可微的函数所构成的集合,令K??,V中加法的定义就是
8、函数的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法,V构成K上的线性空间.4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组.定义4.3(线性组合)给定V内一个向量组?1,?2,?,?s,又给定数域K内s个数k1,k2,?,ks,称k1?1?k2?2???ks?s为向量组?1,?2,?,?s的一个线性组合.定义4.4(线性表出)给定V内一个向量组?1,?2,?,?s
