高等代数北大版教案-第3章线性方程组

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1、第三章线性方程组§1消元法一授课内容：§1消元法二教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组.三教学重难点：用消元法解线性方程组.四教学过程：所谓的一般线性方程组是指形式为（1）的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，（，）称为方程组的系数，（）称为常数项.所谓方程组（1）的的一个解就是指由个数组成的有序数组（），当分别用代入后，（1）中每个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它的全部解，或则说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常

2、数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵来表示.·３９·在中学代数里，我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元，三元线性方程组，实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复的对方程组进行变换，而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1．用一非零的数乘某一方程.2．把一个方程的倍数加到另一方程.3．互换两个方程的位置.定义1变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.消元法的过程就是反复的施行初等变换的过程.可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.对于线性方程组反复的施行初等变换，一步一

3、步做下去，最后就得到一个阶梯形方程组.（5）显然（5）与（1）是同解的.考察（5）的解的情况.如（5）中的方程，而这时不管取什么值都不能使它成为等式，故（5）无解，因而（1）也无解.当，或（5）中根本没有“”的方程时，分两种情况：1），这时阶梯形方程组为有唯一解.例解方程组.解上述方程有唯一的解.·３９·2），这时阶梯形方程组为其中，，把它改写成（7）由（7）我们可以把通过表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而称为一组自由未知量.例解方程组.解一般解为.定理1在齐次线性方程组中，如果，那么它必有非零解.把矩阵称为线性方程组（1）的增广矩阵，·３９·显然，用初等变

4、换花线性方程组（1）成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵.例解方程组.解:从最后一行可以看出原方程组无解.§2维向量空间一授课内容：§2维向量空间二教学目的：理解和掌握维向量空间的概念，掌握维向量空间的两种运算及八条运算律三教学重难点：维向量空间的概念.四教学过程：定义2所谓数域上一个维向量就是由数域中个数组成的有序数组（1）称为向量（1）的分量.定义3如果维向量，的对应分量都相等，即.就称这两个向量是相等的，记作定义4向量称为向量·３９·，的和，记为.由定义立即推出（1）交换律：.（2）结合律：.定义5分量全为零的向量称为零向量，记为0，向量称为向量的负向量，

5、记为.显然对于所有的，都有,.定义6.定义7设为数域中的数，向量称为向量与数的数量乘积，记为.由定义立即推出定义8以数域中的数作为分量的维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域上的维向量空间.向量通常是写成一行有时候也可以写成一列前者称为行向量，后者称为列向量.·３９·§3线性相关性一授课内容：§3线性相关性二教学目的：理解和掌握以下概念：线性组合、线性表出、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组的秩.三教学重难点：线性相关与线性无关的概念.四教学过程：定义9向量称为向量组的一个线性组合，如果有数域中的数，使=.任何一个维向量都是向量组的一个线性组

6、合，因为向量称为维单位向量.当向量是向量组的一个线性组合时，我们也说可以线性表出.定义10如果向量组中的每一个向量()都可以由向量组线性表出，那么向量组就称为可以由向量组线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.由定义知，向量组之间的等价有以下性质1．反身性每一个向量组与它自身等价.2．对称性如果向量组与等价，那么向量组也与等价.·３９·3．传递性如果向量组与等价，向量组与等价，那么向量组与等价.定义11如果向量组（）中有有一向量可以经其余的向量线性表出，那么向量组称为线性相关的.显然，因为零向量可以被任一个向量组线性表出，那么任意一个包含零向量的向量组必线性

7、相关.定义向量组（）称为线性相关，如果数域中不全为零的数，使定义12一向量组不线性相关，即没有不全为零的数，使就称为线性无关，或者说，一向量组称为线性无关，如果由可以推出.由定义立即得出，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换个说法，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.显然，由维单位向量组成的向量组是线性无关的.定理2设与是两个向量组，如果1)向量组可以经线性表出.2).那么向量组必线性相关.推论1如果向量组可以经线性表出，且线性无关，那么.推论2任意个维向