高等代数北大版教案-第章二次型

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1、第五章二次型§1二次型的矩阵表示一授课内容：§1二次型的矩阵表示二教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.三教学重点：矩阵表示二次型四教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况.五教学过程：定义：设是一数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式…(3)称为数域上的一个元二次型，或者，简称为二次型.例如：就是有理数域上的一个3元二次型.定义1设，是两组文字，系数在数域中的一组关系式(4)称为到的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式，那么线性替换(4)就称为非退化的.二次型的矩阵表示：·５９·令，由于,那么二次型(3)就可以写为…+(5)把

2、(5)的系数排成一个矩阵它称为二次型(5)的矩阵.因为，，所以.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.令,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，.故.·５９·显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型且，则，线性替换的矩阵表示令,,那么，线性替换(4)可以写成，或者.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设，，(7)是一个二次型，作非退化的线性替换(8)得到一个的二次型.现在来看矩阵与矩阵的关系把(8)代入(7)有.容易看出，矩阵也是对称的，事实上，.由此，即得.定义2数域上矩

3、阵称为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有·５９·(1)反身性.(2)对称性由，即得.(3)传递性由，，即得.因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§2标准形一授课内容：§2标准形二教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法.三教学重点：化普通的二次型为标准形.四教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.五教学过程：I导入可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型(1)II讲授新课定理1二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式.不难看出，二次型(1)的.=.反过来，矩

4、阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理2在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定义二次型·５９·经过非退化的线性替换所变成的平方和称为的一个标准形.例化二次型为标准形.解：作非退化的线性替换则再令或则.最后令或则是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，.用矩阵的方法来解例化二次型为标准形.·５９·解：的矩阵为.取,则.再取，则.再取，则是对角矩阵，因此令，就有.·５９·作非退化的线性替换即得.§3唯一性一授课内容：§3唯一性二教学目的：通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正(负)惯性指数，符号差.三教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一

5、性的区别.四教学难点：实二次型的唯一性五教学过程：在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的.例二次型经过非退化的线性替换得到标准形.而经过非退化的线性替换·５９·就得到另一个标准形.这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.对于复数域的情形设是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，变为标准形，不妨设标准形为，，(1)易知，就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我

6、们再作一非退化的线性替换(2)(1)就变为(3)(3)称为复二次型的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为·５９·的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.对于实数域的情形设是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使变为标准形，(4)，就是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换(5)(4)就变为(6)(6)称为实二次型的规范形.

7、显然，规范形完全被这两个数所决定.定理4(惯性定理)任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定义3在实二次型的规范形中，正平方项的个数称为的正惯性指数，负平方项的个数称为·５９·的负惯性指数，它们的差称为的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数.§4正定二次型一授课内