高等代数课件(北大版)第六章 线性空间§6.3

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1、§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间9/16/2021数学与计算科学学院一、线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标§6.3维数·基与坐标9/16/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院引入即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？问题Ⅰ如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？（基的问题）问题Ⅱ线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西—数发生

2、联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？（坐标问题）9/16/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院一、线性空间中向量之间的线性关系1、有关定义设V是数域P上的一个线性空间（1）和式的一个线性组合．称为向量组（2），若存在则称向量　可经向量组线性表出；使9/16/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院若向量组　　　　　中每一向量皆可经向量组线性表出，则称向量组可经向量组线性表出；若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价的．（3），若存在不全为零的数，使得则称向量组　　　　　　为线性相关的；9/1

3、6/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院（4）如果向量组　　　　　不是线性相关的，即只有在　　　　　　　　　　时才成立，则称为线性无关的．（1）单个向量　线性相关单个向量　线性无关向量组线性相关中有一个向量可经其余向量线性表出．2、有关结论9/16/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院（2）若向量组　　　　　　线性无关，且可被向量组　　　　　　线性表出，则若　　　　　与　　　　为两线性无关的等价向量组，则（3）若向量组　　　　　　线性无关，但向量组线性相关，则　可被向量组线性表出，且表法是唯一的．9/

4、16/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院因为，对任意的正整数n，都有n个线性无关的向量1、无限维线性空间若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称V是无限维线性空间．例1所有实系数多项式所成的线性空间R[x]是无限维的.1，x，x2，…，xn－1二、线性空间的维数、基与坐标9/16/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院2、有限维线性空间n维线性空间；常记作dimV＝n.（1）n维线性空间：若在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是任意n＋1个向量都是线性相关的，则称V是一个注：零空间的维数定

5、义为0.dimV＝0V＝{0}9/16/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院在n维线性空间V中，n个线性无关的向量（2）基，称为V的一组基；下的坐标，记为（3）坐标设为线性空间V的一组基，则数组　　　　　　，就称为在基若9/16/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院有时也形式地记作注意：向量的坐标是被向量和基唯一确定的．即向量在基　　　　　　下的坐标唯一的.但是，在不同基下　的坐标一般是不同的．9/16/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院3、线性空间的基与维数的确定定理：若线性空间V中的向量

6、组满足ⅰ）线性无关；ⅱ）　　　　　可经　线性表出,则V为n维线性空间，　　　为V的一组基．9/16/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院证明：∵线性无关，∴V的维数至少为n．任取V中n＋1个向量　　　，由ⅱ)，向量组可用向量组若　　　　　　　是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．线性表出.∴V中任意n＋1个向量　　　　　　　是线性相关的．故，V是n维的，　　　就是V的一组基．9/16/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院例23维几何空间R3＝是R3的一组基；也是R3的一组基．一般地，向量空间为n维的，就是

7、Pn的一组基．称为Pn的标准基.9/16/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院①n维线性空间V的基不是唯一的，V中任意n个②任意两组基向量是等价的．例3（1）证明：线性空间P[x]n是n维的，且注意：线性无关的向量都是V的一组基．（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－11，x，x2，…，xn－1为P[x]n的一组基．也为P[x]n的一组基．9/16/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的．∴1，x，x2，…，xn－1为P[x]n的一

8、组基，从而，P[x]n是n维的.其次，可经1，x，x2，…，xn－1线性表出．注：在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是此时，9/16/2021§6.3维数基坐标数学与计算科学学院（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．又对，按泰勒展开公式有即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.∴