高等代数【北大版】6.7.ppt

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1、§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间§6.7子空间的直和一、直和的定义二、直和的判定三、多个子空间的直和6.7子空间的直和引入有两种情形:由维数公式设  为线性空间V的两个子空间,此时即,   必含非零向量.6.7子空间的直和情形2)是子空间的和的一种特殊情况直和此时不含非零向量,即6.7子空间的直和一、直和的定义设  为线性空间V的两个子空间,若和是唯一的,和   就称

2、为直和,记作注:若有则①分解式     唯一的,意即中每个向量 的分解式6.7子空间的直和②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如,R3的子空间这里,在和   中,向量的分解式不唯一,如所以和   不是直和.6.7子空间的直和而在和   中,向量(2,2,2)的分解式是唯一的,事实上,对故   是直和.都只有唯一分解式:6.7子空间的直和二、直和的判定分解式唯一,即若1、(定理8)和   是直和的充要条件是零向量则必有证:必要性.是直和,的分解式唯一.而0有分解式6.7子空间的直和充分性.故

3、    是直和.设     ,它有两个分解式有其中于是由零向量分解成唯一,且即的分解式唯一.6.7子空间的直和2、和   是直和则有即是直和.“  ” 任取证:“  ” 若于是零向量可表成由于   是直和,零向量分解式唯一,故6.7子空间的直和证:由维数公式3、和   是直和有,是直和.(由2、得之)6.7子空间的直和总之,设   为线性空间V的子空间,则下面四个条件等价:2)零向量分解式唯一1)   是直和3)4)4、(定理10)设U是线性空间V的一个子空间,称这样的W为U的一个余子空间.则必存在一个

4、子空间W,使6.7子空间的直和证:取U的一组基把它扩充为V的一组基则余子空间一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).注意:如,在R3中,设则但6.7子空间的直和5、设分别是线性子空间的一组基,则是直和线性无关.证:由题设,若          线性无关,则它是的一组基.从而有6.7子空间的直和反之,若 直和,则从而          的秩为r+s.所以          线性无关.是直和.6.7子空间的直和1、定义中每个向量 的分解式三、推广  多个子空间的直和都是线性空间V的子空间,若和是唯一的,则和 

5、  就称为直和,记作6.7子空间的直和四个条件等价:2)零向量分解式唯一,即3)4)2、判定设     都是线性空间V的子空间,则下面1)    是直和6.7子空间的直和例1、每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和.证:设      是n维线性空间V的一组基,则而故得证.6.7子空间的直和例2、已知    ,设2)当   时,证:1)任取有是 的子空间.证明:1)   是 的子空间.6.7子空间的直和又对有从而有故 是 的子空间.下证 是 的子空间.6.7子空间的直和又2)先证任取其中再证又

6、   是 的子空间,6.7子空间的直和任取从而所以6.7子空间的直和练习1设V1、V2分别是齐次线性方程组①与②的证:解齐次线性方程组①,得其一个基础解系①②解空间:证明:6.7子空间的直和再解齐次线性方程组②.由即得②的一个基础解系考虑向量组6.7子空间的直和由于线性无关,即它为Pn的一组基.又6.7子空间的直和2、和       是直和证:则练习:6.7子空间的直和则零向量还有一个分解式(*)在(*)式中,设最后一个不为0的向量是则(*)式变为这时,所以,      是直和.6.7子空间的直和

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