高等代数【北大版】(47).ppt

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1、第十章双线性函数§10.1线性函数§10.2对偶空间§10.3双线性函数§10.4对称双线性函数一、对称双线性函数二、反对称双线性函数§10.4对称双线性函数三、正交基四、双线性度量空间§10.4对称双线性函数一、对称双线性函数1.定义设为数域P上线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意向量均有则称为对称双线性函数.§10.4对称双线性函数命题1数域P上n维线性空间V上双线性函数是对称的（反对称的）在V的任意一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的）.证：任取V的一组基则2.对称双线性函数的有关性质§10.4对称双线性函数同样§10.4

2、对称双线性函数在下的矩阵为例.且为正定矩阵.§10.4对称双线性函数定理5设V是数域P上n维线性空间.是V上对称双线性函数，则存在一组基，使在这组基下的度量矩阵为对角形.证：只需证能找到一组基，使1）若　则2）若不全为0，先证必有§10.4对称双线性函数否则，若则对有所以这样的是存在的.对用归纳法.①时成立.②假设维数上述结论也成立.将扩充为V的一组基§10.4对称双线性函数令则易证仍是V的一组基.考察由生成的线性子空间有且§10.4对称双线性函数把看成上的双线性函数，仍是对称的.由归纳假设，有一组基满足故是V的一组基，且满足由于§10

3、.4对称双线性函数若在基下的度量矩阵为对角矩阵则对注§10.4对称双线性函数推论1设V是复数域上n维线性空间.为V上对称双线性函数.则存在V的一组基对§10.4对称双线性函数推论2设V是实数域上n维线性空间.为V上对称双线性函数.则存在V的一组基对为正惯性指数.§10.4对称双线性函数线性空间V上双线性函数当时，V上函数称为与对应的二次齐次函数.定义设的度量矩阵为①给定V的一组基式中的系数为有3.二次齐次函数（1）§10.4对称双线性函数②不同双线性函数可能导出同一个二次函数.如：设两个双线性函数在基下的度量矩阵为但可则对应的二次齐次函

4、数相同.如：§10.4对称双线性函数③一个对称双线性函数只能导出一个二次型.此即为以前学过的二次型.此时，而二次型与对称矩阵1-1对应.§10.4对称双线性函数命题3为V上反对称双线性函数证:对§10.4对称双线性函数二、反对称双线性函数1.定义设为数域P上线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意向量均有则称为反对称双线性函数.§10.4对称双线性函数定理6设为n维线性空间V上反对称双线性函数（即）则存在V的一组基使（2）2.反对称双线性函数的有关性质§10.4对称双线性函数即在这组基下的度量矩阵为§10.4对称双线性函数证：首先是

5、反对称的，若为函数，则V的任意一组基皆可取作结论成立.①.时，若不是函数.且线性无关，则必有使得否则若有则§10.4对称双线性函数所以可取适当使令即有②.假设维数时结论成立.将扩充为V的一组基则令§10.4对称双线性函数易证：仍为V的一组基.令则§10.4对称双线性函数于是由归纳假设，看作上双线性函数仍是反对称的.于是有的基满足（2）.由于都有故满足（2）.§10.4对称双线性函数为V上对称双线性函数，若非退化的，则有V的一组基　满足这样的基叫做V的对于的正交基.三、正交基定义§10.4对称双线性函数为V上反对称双线性函数，若非退化的，

6、则有V的一组基使所以具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.附§10.4对称双线性函数设V是数域P上的一个线性空间，在V上定义了一个非退化的双线性函数.则称V为一个双线性度量空间.特别地，　　　　　　　　　　　为V上非退化对称双线性函数时，V称为一个伪欧式空间.四、双线性度量空间定义§10.4对称双线性函数§10.4对称双线性函数