高等代数课件（北大版）第九章欧式空间.ppt

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1、§2标准正交基§3同构§4正交变换§1定义与基本性质§6对称矩阵的标准形§8酉空间介绍§7向量到子空间的距离─最小二乘法小结与习题第九章欧氏空间§5子空间7/28/2021数学与计算科学学院一、向量到子空间的距离§9.7向量到子空间的距离二、最小二乘法数学与计算科学学院向量间的距离长度称为向量和的距离，基本性质（i）（ii）并且仅当的等号才成立；（iii）(三角形不等式)一、向量到子空间的距离定义记为数学与计算科学学院2.向量到子空间的距离(1)设为一固定向量，如果与子空间中每个向量垂直，称垂直于子空间记作如果则注:数学与计算科学学院(2)向量到子空间中的各向量的距离以

2、垂线为最短.如图示意，对给定，设是中的满足的向量，则对有数学与计算科学学院因是子空间，则由勾股定理证明：故所以数学与计算科学学院二、最小二乘法问题提出:实系数线性方程组（1）即任意都可能使（2）不等于零．可能无解，数学与计算科学学院设法找实数组使（2）最小,这样的为方程组（1）的最小二乘解，此问题叫最小二乘法问题.最小二乘法的表示:设（3）数学与计算科学学院用距离的概念，（2）就是由（3）,设　　　　　　　　　则要找使（2）最小，等价于找子空间中向量使到它的距离比到中其它向量的距离都短.数学与计算科学学院设这等价于（4）即这样（4）等价于（5）为此必或这就是最小二乘解所

3、满足的代数方程.数学与计算科学学院已知某种材料在生产过程中的废品率与某种化学成份有关．下列表中记载了某工厂生产中与相应的的几次数值：找出对的一个近似公式.例题数学与计算科学学院把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势近于一条直线．因此我们决定选取的一次式来表达．当然最好能选到适当的使得下面的等式解：都成立.数学与计算科学学院实际上是不可能的．任何代入上面各式都发生些误差.于是想找到使得上面各式的误差的平方和最小，即找使最小.易知数学与计算科学学院最小二乘解所满足的方程就是数学与计算科学学院解得（取三位有效数字）.即为数学与计算科学学院