《保角映射》PPT课件

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1、复变函数与积分变换第六章保角映射§1保角映射的概念一、导数的几何意义1.z平面内的任一条有向曲线C可用z=z(t),atb表示,它的正向取为t增大时点z移动的方向,z(t)为一条连续函数.如果z'(t0)0,a

2、(t)]=w(t)，且w0=w(t0)，由于w’(t0)=f’(z0)z’(t0)≠0——称为w=f(z)在点z0旋转角argf‘(z0)只与点z0有关，而与过z0的曲线C的形状无关旋转角不变性在解析函数w=f(z)的映射下，若f’(z0)≠0，则过点z0的任意两条连续曲线之间的夹角,与其像曲线在w0=f(z0)处的夹角大小相等且方向相同.这种性质称为保角性.W=f(z)通过z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这样的性质,即映射到w平面的曲线在w0点都转动了同一个角度argf'(z0).OxyOuv(z)(w)z0w0上式表明像点间无穷小

3、距离与原像点间无穷小距离之比的极限为

4、f’(z0)

5、

6、f’(z0)

7、——映射w=f(z)在点z0的伸缩率——只与点z0有关，而与过z0的曲线C的形状无关，这一性质称为伸缩率不变性2.9上式可视为例1求w=f(z)=z3在z=i处的伸缩率和旋转角。解：w=f(z)=z3在全平面解析，f'(z)=3z2。伸缩率为3，旋转角为。在z=i处具有伸缩率不变和保角性。10例2设w=f(z)=z2+2z,试阐明在平面上哪一部分被放大了,哪一部分被压缩了。解：w=f(z)=z2+2z在全平面解析，f'(z)=2z+2。二、保角映射的概念w=f(z)例如是第二类保形映

8、射。1、定义：凡具有保角性和伸缩率不变性的映射称为保角映射或第一类保角映射。定理1若函数w=f(z)在区域D内(任一点z0处)解析,且f‘(z0)0,则w=f(z)所实现的映射在区域D内是一个保角映射。若仅保持夹角大小不变，但方向相反，则该保角映射称为第二类保角映射。定理2若函数w=f(z)把区域D保角地、一一对应地映射成区域G，则w=f(z)在D上是单值且解析的函数，其导数在D上必不为零，且其反函数z=g(w)在G上也是单值且解析的函数，它把G保角地、一一对应地映射成D。三、关于保角映射的几个一般性定理定理1、2一个单值且解析的函数可以实现一一对

9、应的保角映射实际应用中求一个解析函数w=f(z)w=f(z)保角映射?这样的保角映射存在吗?定理3(黎曼定理）设有两个单连通区域D和G,z0和w0分别是D和G中的任意两点，是任一实数，则总存在一个函数w=f(z)，它把D一一对应地保角映射成G，使得并且这样的保角映射是唯一的。定理4(边界对应原理）设有两个单连通区域D和G的边界分别为简单闭曲线C和。若能找到一个在D内解析、在C上连续的函数，它将一一对应地映射成，且当原像点z和像点w在边界上绕行方向一致时,D和G在边界的同一侧，则w=f(z)将D一一对应地保角映射成G。注：注意边界对应的方向性。边界对边

10、界§2分式线性映射一、分式线性映射1.可将一般的分式线性映射分解为一些简单映射的复合16由此可见,一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊映射复合而成:下面讨论三种映射,为了方便,暂且将w平面看成是与z平面重合的.17i)w=z+b.这是一个平移映射.因为复数相加可以化为向量相加,z沿向量b的方向平移一段距离

11、b

12、后,就得到w.O(z)(w)zwbb18ii)w=az,a0.这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射.设a=leia将z先转一个角度a,再将

13、z

14、伸长(或缩短)l倍后,就得到w.O(z)=(w)zwa19圆周的对称点CBAROA与B关于圆

15、周C互为对称点20zw1w1关于单位圆周的对称变换关于实轴的对称变换211.保角性三、分式线性映射的性质22而i)与ii)是平移，旋转和伸缩变换显然是保角的，所构成的复合映射w=az+b在整个扩充复平面上是保形的,而分式线性映射是上述三种映射复合而构成的,因此有定理1分式线性映射是两个扩充复平面之间一一对应的保角映射.232.保圆性映射w=az+b和w=1/z都具有将圆周映射成圆周的特性,（这里将直线看作是无穷大半径的圆）这种性质称作保圆性.映射w=az+b显然具有保圆性,下面说明w=1/z具有保圆性.24因此,映射w=1/z将方程A(x2+y2)+

16、Bx+Cy+D=0变为方程D(u2+v2)+Bu-Cv+A=0。当a0,d0：圆周映射为圆周;当a0