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1、7819#论文复审稿1基于保角映射构造流形上的细分曲线朱文明邓建松陈发来(中国科学技术大学数学系,安徽合肥,230026)摘要：流形上的曲线设计在很多领域有着广泛的应用.本文通过对流形的保角映射，把常用的曲线细分格式应用3于流形上，生成流形上的光滑曲线。实验证明这类曲线具有较好的光滑度,并继承了R空间中细分曲线的一些特征，如曲线可以是插值或者逼近原始点列。本文同时给出实例以说明方法的有效性。关键词：曲线细分保角映射流形中图法分类号:TP391文献标识码:A文章编号:1006-8961(年)ConstructingS
2、ubdivisionCurvesonManifoldswithConformalMappingZHUWen-ming,DENGJian-song,CHENFa-lai(DepartmetnofMathematics,UniversityofScienceandTechnologyofChina,Hefei230026,China)Abstract:Curvedesignonmanifoldsisveryimportantinmanyapplications.Weproposeacurvesubdivisionapp
3、roachbasedonconformalmappingofmanifolds.Itisprovedbyexperimentsthattheresultingcurvesinsomesensehavenicesmoothnessandinheritesomepropertiesofsubdivisioncurvesin3Rspace,suchasthecurvesmightinterpolateorapproximatetheinitialpoints.Someexamplesareprovidedtoillust
4、ratetheefficiency.Keyword:curvesubdivision,conformalmapping,manifold.一条好的光滑路径曲线，并且要求这条曲线能紧贴1引言着物体表面。对于一般欧氏空间里的自由曲线设计方法有很流形上的曲线设计在机器人刚体动作设计多种，比如样条曲线、细分曲线等等，这里不再赘[10,12][5,13][8,11,14]，制造几何学以及计算机动画等领域述。我们关注的是给定曲面上的一些点，如何通过有着广泛的应用，是最近十几年来研究的热点问题细分的方法设计一条这个曲面上比较光滑
5、的路径，之一。比如在动画设计中，要求摄像机沿着物体表使得它插值或者逼近这些点。目前这方面的研究还面从一点移动到另外一点，这就需要给摄像机安排[7]主要使用的是变分方法。Hofer通过扩展三次B样1本工作得到“973”项目(2004CB318000)，国家杰出青年基金（60225002），国家自然科学基金（No.60533060和60473132），教育部高校青年教师奖励计划，教育部留学回国人员科研启动基金的资助。27819#论文复审稿*条曲线以及张力样条，设计流形上的能量极小化样ò二元性，ω和ω的上同调群可以由他们
6、沿条，但是这种样条一般没有显式表达，也不便于做着每个同调基上的积分得到。*多分辨率的曲线设计。本文试图从另一个方面考察ò共轭性，ω总与ω垂直。流形上光滑曲线的快速生成算法，即通过构造流形由Hodge理论，给定2g个实数c,...,c，存在唯12g上的保角梯度场，建立流形与参数域（单位圆盘或一的梯度场ω满足上面的前三个条件，即单位球）之间的可逆保角映射。因此流形上的细分⎧曲线便可与对应参数域上的细分曲线简历一一对⎪dω=0应，从而达到流形上光滑曲线设计的目的。⎪⎨∆ω=0由Riemann几何中的一致化定理，任意单连通
7、⎪ω=c,i=1,...,2g的Riemann曲面K都与复平面C或者Riemann球⎪∫iC∪∞⎩ei或者开圆盘{z∈C:z<1}保角等价。作为Riemann曲面K的一个线性逼近，单边界三角网格M其中d为外微分算子，4为Laplacian-Beltrami算子，第三总是可以同胚于二维欧氏空间中的一个圆盘S2，而式则是对ω的上同调群做相关约束。梯度场的共轭亏格为零的闭曲面通常可被保角映射到R3中的单*dd性则由ω=n×ω得到，这里n为曲面的法向空间。位球S3上。对于复杂拓扑的曲面，通过引进基础域*一旦得到保角梯度场空
8、间的基{ω+−1ω}，曲iii（Fundamentaldomain）的概念，分别建立各基础域面的一个保角参数化便可通过梯度场在曲面的每个上相互兼容的保角映射图（Atlas），同样可以得到基础域上积分得到。[4]整体保角映射的构造方法。保角参数化的一个例子如图1[4]，其中(a)表示的本文由五个部分组成，第二节主要介绍当前应是g=2的模型上的4个同调基e,..
