任意项级数的绝对收敛与条件收敛

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1、课前练习课前练习也是交错级数，其和：课前练习一、任意项级数的定义Interrogateofanytermseries微积分电子教案安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959三、绝对收敛与条件收敛二、交错级数敛散性判别法§11.3任意项级数的绝对收敛与条件收敛四、小结二、交错级数敛散性判别法定理(1)(2)则该交错级数收敛，且其和若交错级数满足:2.2、交错级数判别法(莱布尼兹判别法)二、交错级数敛散性判别法例3判别下列级数的敛散性解:⑴⑵证明：由莱布尼兹判别法知：原级数收敛.二、交错级数敛散性判别法例4二、交错级数敛散性判别

2、法例5.证明收敛证由可知又当x>e时,从而当n>2时,有f(n)>f(n+1),即由莱布尼兹判别法可知：收敛条件(1),(2)均不好检验对交错级数使用莱布尼茨判别法时，可以借助可导函数的单调性判断级数前后项大小和求极限。解:该级数为交错级数由莱布尼兹判别法知：原级数收敛.二、交错级数敛散性判别法例6即三、绝对收敛与条件收敛3.1、任意项级数与其绝对值级数的关系定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定理证明三、绝对收敛与条件收敛证明由比较判别法知：由级数的性质2知，由上述定理知：任意项级数正项级数定理三、绝对收敛与条件收敛反例：有的级数自己收敛,加上绝对值也收敛;

3、而有的级数自己收敛,加上绝对值发散,因此,这两种收敛级数是有区别的.思考:?三、绝对收敛与条件收敛设为任意项级数,若收敛,则称为绝对收敛；若发散,但收敛,则称为条件收敛.今后对任意项级数，必须注明绝对收敛还是条件收敛.3.2、绝对收敛与条件收敛(Absoluteinterrogateandconditionallyconvergent)三、绝对收敛与条件收敛任意项级数敛散性判断思考过程：任意项级数？否是是绝对收敛条件收敛发散否否是三、绝对收敛与条件收敛例1.判别下列级数的敛散性解：是p=2>1的p-级数,收敛.故级数绝对收敛由莱布尼茨判别法可知：又发散,故原级数条件收敛

4、.三、绝对收敛与条件收敛解故原级数绝对收敛.例2判别级数的收敛性.三、绝对收敛与条件收敛例3.讨论级数的敛散性.解：当时,级数发散p>1时,原级数绝对收敛当时，原级数为交错级数，由于原级数条件收敛综上可知：例4.讨论级数的敛散性解：将级数的各项取绝对值得正项级数由比值判别法可知:①当

5、x

6、<1时,三、绝对收敛与条件收敛②当

7、x

8、>1时,收敛,从而原级数绝对收敛;发散且有,故原级数发散.综上可知及发散，可知原级数条件收敛.事实上三、绝对收敛与条件收敛③当

9、x

10、=1时,若x=-1，原级数为发散。三、绝对收敛与条件收敛解三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛正项级数任意

11、项级数判别法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨判别法)3.按基本性质;四、小结作业：习题11-3（P456）1;2(2,4,5,6)微积分电子教案安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959§11.4泰勒级数与幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的性质四、泰勒级数五、函数展开成幂级数1.定义一、函数项级数的概念设是定义在上的函数,则称为定义在区间上的(函数项)无穷级数.对于每一个，函数项级数就是一个常数项级数2.收敛点与收敛域例如：是公比为x的等比级数一、函

12、数项级数的概念如果，常数项级数收敛,则称为级数的收敛点，否则称为发散点.函数项级数的所有收敛点的全体称为收敛域，所有发散点的全体称为发散域.当时，收敛；收敛域：当时，发散；发散域：余项3.和函数若函数项级数的部分和例如：在收敛域：其和函数为：注意：级数的收敛域未必等于和函数的定义域一、函数项级数的概念在收敛域上，函数项级数的和是的函数，称为函数项级数的和函数。二、幂级数及其收敛性2.1、定义⑴(x-x0)的幂级数:⑵x的幂级数:其中为幂级数系数.称为x1的幂级数由于收敛域与发散域互补,下面只研究收敛域.二、幂级数及其收敛性2.2、幂级数的敛散性特点定理2此时幂级数的收

13、敛区间有以下四种可能：如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数存在,它具有下列性质:当时,幂级数绝对收敛;当时,幂级数发散;当时,幂级数可能收敛也可能发散.二、幂级数及其收敛性定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.规定问题如何求幂级数的收敛半径?要求幂级数的收敛区间，关键求实数R2.3、幂级数的收敛半径与收敛区间二、幂级数及其收敛性定理3如果幂级数的所有系数,设（或）（1）则当时，；（2）当时，；（3）当时，。解：所以收敛半径R=3例1.求的收敛半径根据系数的表达式，也