概率论课件--2-4二维随机变量及其概率分布

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1、第二章第四节二维随机变量及其概率分布(23)一、二维随机变量的概念二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量1课件以上我们只限讨论一个随机变量的情况,但在实际问题一、二维随机变量的概念定义1有些随机试验的结果需要用两个或两个以上的随机变量来描述.例如:为了研究大学生身体发育状况,中,学生进行抽查,对某校大对于每个学生都能观察到他的身高H和体重W,这里H和W是两个随机变量,类似的例子还有许多.设随机试验E的样本空间为,X,Y是定义在上的两个随机变量,则二维向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.2课件二维随机变量(X,Y)的性

2、质不仅与X及Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,注意:定义2因此逐个研究体来进行研究.还必须将(X,Y)作为一个整与一维的情况类似,我们也借助于分布函数来研究二设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数x,y,二元函数称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数.随机变量X与Y是不够的,维随机变量.(1)3课件在几何上,若把二维随机变量(X,Y)看作平面上随机点的坐标,那么联合分布函数F(x,y)在点(x,y)处的函数值,就是随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点的左下方无穷矩形域内的概率.4课件由联合分布函数的几何意义很容易得出落

3、在一个矩形区域内的概率为:(2)随机点(X,Y)5课件定理1(1)F(X,Y)关于x,y均是非减函数;(2)（3）　　　关于　　均是右连续函数；（4）对任意　　　，　　　均有二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)具有以下性质:6课件注意到:同理:分别称为二维随机变量(X,Y)关于X,二维随机变量(X,Y)的分量X与Y分别是一维随机变量,通过(X,Y)的联合分布函数F(X,Y)可以求出X与Y各自的分布函数与与关于Y的边缘分布函数.即有:(3)(4)7课件二、二维离散型随机变量则称(X,Y)是二维离若二维随机变量(X,Y)的全部可

4、能取值是有限多对或可列无穷多对并称为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律.联合分布律的性质:(1)(2)散型随机变量.8课件的联合分布律通常用表格(矩阵)给出：9课件(X,Y)的联合分布函数F(x,y)其中由(X,Y)的联合分布律还可求出X与Y各自的分布律.求出:是对一切满足的求和.可由上面的联合分布律(5)10课件记:分别称为(X,Y)关于X关于Y的边缘分布律.11课件在联合分布律的表格中,将每行与每列相加即可得到边缘分布律.12课件例1.设随机变量X在1,2,3,4这四个整数中等可能另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数解:

5、由于{X=i,Y=j}的取值情况是:j取不大于i的正整数,由乘法公式容易求得:所以(X,Y)的联合分布律与边缘分布律为:试求二维随机变量(X,Y)的联合分布律及边缘i=1,2,3,4,取值,值,布律.13课件1234123414课件即有X边缘分布律:Y边缘分布律:1234X1234Y也即有:15课件三、二维连续型随机变量实数x,y都有定义3.函数,(X,Y)的联合概率密度函数.则称(X,Y)为二维连续型随机变量,设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布若存在一个非负二元函数f(x,y),使对任意(6)并称f(x,y)为16课件联

6、合概率密度函数f(x,y)的性质:(1)f(x,y)0;(3)若f(x,y)在点(x,y)处连续,(4)性质(4)表明在几何上,概率,则有(X,Y)落在某平面区域D中的在数值上就是f(x,y)在区域D上的二重积分.17课件由(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y)变量X和Y的概率密度函数因为而所以同理有称为(X,Y)关于X的边缘概率密度函数;称为(X,Y)关于Y的边缘概率密度函数.和(7)(8)可求得一维随机18课件例3.(2)X,Y的边缘概率密度函数;求:及(3)求(X,Y)的联合分布函数F(X,Y).解:(1).设(X,Y)的联合

7、概率密度函数为(1)19课件11(2).当x0或x1时,则当0