概率论课件二维随机变量及其分布

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1、一、二维随机变量在实际应用中，有些随机现象需要同时用两个或以上的随机变量来描述.例如，研究某地区学龄前儿童前儿童的发育情况时，就要同时抽查儿童的身高、体重这里，和是定义在同一样本空间{某地区的全部学龄前儿童}上的两个随机变量.在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而需考察它们的联合取值的统计规律，即多维随机变量的分布.由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们二维随机变量由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们二维随机变量由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们重点讨论二维随机变量.

2、定义设随机试验的样本空间为而是定义在上的两个随机变量，称为定义在上的二维随机变量或二维随机向量.注：一般地，称个随机变量的整体为维随机变量或随机向量.完二、二维随机变量的分布函数二维随机变量的性质不仅与及有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,将作为一个整体进行研究.与一维情况类我们也借助“分布函数”来研究二维随机变量.定义设是二维随机变量，对任意实数二元函数故需似,记为称为二维随机变量的分布函数或称为随二维随机变量的分布函数记为称为二维随机变量的分布函数或称为随二维随机变量的分布函数记为称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量和的联合分布函数.若将

3、二维随机变量视为平面上随机点的坐标，则分布函数就是随机点落入区域二维随机变量的分布函数就是随机点落入区域二维随机变量的分布函数就是随机点落入区域的概率(如图1).由概率的加法法则，随机点落入矩形域的概率二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数若已知的分布函数则可由导出和各自的分布函数和二维随机变量的分布函数若已知的分布函数则可由导出和各自的分布函数和二维随机变量的分布函数若已知的分布函数则可由导出和各自的分布函数和分别称和为关于和的边缘分布函数.联合分布函数的性质完联合分布函数的性质随机变量的联合分布函数联合分布函数的性质：且(1)注：以上四个等式可

4、从几何上进行说明.（2）关于和均为单调非减函数，即对任意固定的对任意固定的联合分布函数的性质注：以上四个等式可从几何上进行说明.（2）关于和均为单调非减函数，即联合分布函数的性质注：以上四个等式可从几何上进行说明.（2）关于和均为单调非减函数，即对任意固定的当对任意固定的当（3）关于和均为右连续，即完例1设二维随机变量的分布函数为(1)试确定常数(2)求事件的概率.解(1)由二维随机变量的分布函数的性质,可得由这三个等式中的第一个等式知例1设二维随机变量的分布函数为(1)试确定常数(2)求事件的概率.解(1)由这三个等式中的第一个等式知例1设二维随机变量

5、的分布函数为(1)试确定常数(2)求事件的概率.解由这三个等式中的第一个等式知故由第二、三个等式知于是得(1)(2)由(1)式得故的分布函数为完三、二维离散型随机变量及其概率分布若二维随机变量只取有限个或可数个值，称为二维离散型随机变量.为二维离散型随机变量均为离散型随机变量.定义若二维离散型随机变量所有可能的取值为则称则均为离为二维离散型随机变量的概率分布(分布律),或与的联合概率分布(分布律).二维离散型随机变量及其概率分布或与的联合概率分布(分布律).二维离散型随机变量及其概率分布或与的联合概率分布(分布律).易见，满足下列性质：与一维情形类似，有

6、时也将联合概率分布用表格形式来表示，并称之为联合概率分布表由和的联合概率分布，可求出各自的概率分布:二维离散型随机变量及其概率分布分布:二维离散型随机变量及其概率分布分布:分别称和为关于和的边缘概率分布.注：与分别等于联合概率分布表的行和与列和.完联合概率分布表与一维情形类似，有时也将联合概率分布用表格形式来表示，并称为联合概率分布表：联合概率分布表联合概率分布表对离散型随机变量而言，联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观，而且能够更加方便地确定取值于任何区域上的概率.设二维离散型随机变量的概率分布为则特别地，由联合概率分布可以确定联合分布函数:联合概率

7、分布表特别地，由联合概率分布可以确定联合分布函数:联合概率分布表特别地，由联合概率分布可以确定联合分布函数:由和的联合概率分布，可求出各自的概率分布：分别称和为关于联合概率分布表由和的联合概率分布，可求出各自的概率分布：分别称和为关于联合概率分布表由和的联合概率分布，可求出各自的概率分布：分别称和为关于和的边缘概率分布.注：和分别等于联合概率分布表的行和与列和.完例2设随机变量在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量在中等可能地取一整数值,试求的分布律.解由乘法公式容易求得的分布律.易知的取值情况是:大于的正整数,且于是的分布律为取不例

8、2设随机变量在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量在中等可能