二维随机变量及其分布

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1、第五章二维随机变量及其分布二维随机变量及分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量边缘分布随机变量的独立性条件分布§1.1二维随机变量及分布函数一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二维变量（X，Y），它的取值是随着实验结果而确定的，那么称这个二维变量（X，Y）为二维随机变量，相应地，称（X，Y）的取值规律为二维分布一、二维随机变量§5.1二维随机变量及分布函数设(X,Y)是二维随机变量，则称F(x,y)=P{Xx,Yy}为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数,其中x,y是任意实数.二、联合分布函数定义：注：联合分布函数是事件{X≤x}与{Y≤y}同时发生(交

2、)的概率§5.1二维随机变量及分布函数二、联合分布函数几何意义如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面随机点的坐标,那么联合分布函数F(X,Y)在(X,Y)的函数值就是随机点(X,Y)落在以为(x,y)右上角拐点的无穷矩形内的概率.§5.1二维随机变量及分布函数二、联合分布函数性质对任意的x,y,有0≤F(x,y)≤1;F(x,y)关于x、关于y单调不减；§5.1二维随机变量及分布函数二、联合分布函数性质F(x,y)关于x、关于y右连续§5.1二维随机变量及分布函数二、联合分布函数性质④§5.1二维随机变量及分布函数二、联合分布函数性质⑤随机点(X,Y)落在矩形区域的概率0x

3、1x2xy1y2y§5.1二维随机变量及分布函数二、联合分布函数性质注：任何一个二维联合分布函数F(x,y)必具有以上五条基本性质，还可证明具有以上五条性质的二元函数F(x,y)一定是某个二维随机变量的分布函数.即这五条性质是判定一个二元函数是否为某个随机变量的分布函数的充要条件例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为求常数A，B，C.解:§5.2二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称P{X＝xi,Y＝yj}＝pij，(i,j＝1,2,…)，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量

4、X与Y的联合分布律.可记为(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij,(i,j＝1,2,…)，1.二维离散型随机变量定义若二维随机变量(X,Y).如果它可能取的值是有限个或可数多个数组对(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。2.联合分布律§5.2二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律联合分布律的性质(1)(2)二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…………………xipi1pi2…pij…………………0≤pij≤1,i,j＝1,2,…§5

5、.2二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律例2一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2.从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球.设每次取球时,袋中各个球被取到的可能性相同.以X,Y分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字.求:(1)X,Y的分布律;(2)P(X≥Y).解:P(X=1,Y=2)=(1/3)×1=1/3P(X=2,Y=1)=(2/3)×(1/2)=1/3P(X=2,Y=2)=(2/3)×(1/2)=1/3YX12101/321/31/3§5.2二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律(2)P(X≥Y)=P(X=1,Y=1)

6、+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=0+(1/3)+(1/3)=2/3YX1211/92/922/94/9由于事件{X≥Y}={X=1,Y=1}∪{X=2,Y=1}∪{X=2,Y=2}且三个事件互不相容,因此有放回抽取方式P(X=1,Y=2)=2/9P(X=2,Y=1)=2/9P(X=2,Y=2)=4/9P(X=1,Y=1)=1/9§5.2二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律若(X,Y)的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…则(X,Y)的分布函数为其中和式是对一切满足xi≤x,yj≤y求和。分布律与分布函数的关系§5.2二维

7、离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律例若(X,Y)的分布律如下表，YX0101/20101/2求(X,Y)的分布函数。解yx11§5.3二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及联合密度函数1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有则称(X,Y)是连续型二维随机变量,函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的(联合)概率密度函数.2．概率密度f(x,y)的性质§5.3二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量及联合密度函数(3).若f(x,y