概率论§3.5 二维随机变量函数的分布课件.ppt

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1、§3.5二维随机变量的函数的分布在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形。当随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数Y=g(X1,X2,…,Xn)i=1,2,…,m的分布?1一.离散型分布的情形若X和Y相互独立，则有设(X,Y)为离散型随机变量，其分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,…则也为离散型随机变量。Z的分布函数为2例1设二维随机变量(X,Y)的概率

2、分布为YXpij-10-112求的概率分布。3解:根据(X,Y)的联合分布可得PX+YXY(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-1011210-10-204所以可得PX+Y-2-1012PXY-2-1015例2若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…，求Z=X+Y的概率函数。解:=a0br+a1br-1+…+arb0由独立性其中r=0,1,2,…6二.连续型分布的情形设二维连续型随机变量(X,Y)的

3、概率密度函数为f(x,y)，则函数Z=g(X,Y)的分布函数为函数Z的概率密度函数为即Z的分布函数是(X,Y)落入区域D:g(x,y)≤z的概率。7(I)和的分布：Z=X+Y•z•zx+y=z或设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为8固定z和x，将方括号内的积分作变量代换，令y=u-x可得对于累次积分变量代换交换积分次序9由概率密度与分布函数的关系，可得连续型随机变量Z=X+Y的概率密度函数为由X和Y的对称性，fZ(z)又可写成以上两式即是二维随机变量

4、和函数的概率密度的一般公式。10特别地，若X,Y相互独立，则有或者称之为函数fX(z)与fY(z)的卷积11例3设X与Y相互独立，都服从区间(0,1)上的均匀分布，试求Z=X+Y的密度函数。解I：（卷积公式法）由题意可知设Z=X+Y的密度函数为fZ(z)，则有12Z=X+Y的密度函数为从而可得为确定积分限，先找出使被积函数不为0的区域也即13解II：（分布函数法）x+y=z当z<0时1yx114当0z<1时yx11x+y=z•z•z15x+y=z当1z<2时z-11yx1•z•z161yx1x

5、+y=z22当2z时从而可得Z的概率密度函数为17例4设X和Y是相互独立的随机变量，且都服从标准正态分布N(0,1)，试求：Z=X+Y的概率密度。解:FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}由题意可知18xyx+y=z令y=tx则有19令或者直接利用卷积公式20则可见，Z～N(0,2)21一般地,若随机变量X与Y相互独立，且X～N(1,12),Y～N(2,22),则Z=X+Y仍服从正态分布,且Z～N(1+2,12+22)结论（正态分布的可加性）：有限个相互独立的正态随机变量的

6、线性组合仍然服从正态分布。22例5设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为试求:Z=X+Y的概率密度。解:Z的分布函数为因为X和Y相互独立，所以23当z<0时当0≤z<1时xy0z1显然FZ(z)=0fZ(z)=0=z1+ezfZ(z)=FZ(z)=1ez对z的取值分三种情况讨论：24当z≥1时01zxy综上可得=1+eze1zfZ(z)=FZ(z)=(e1)ezZ的概率密度为25(II)商的分布：Z=X/Y设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为f(x

7、,y)，则Z=X/Y的分布函数为化为二次积分得令x=yu，并交换积分次序得26于是可得随机变量Z的概率密度为特别的，如果X与Y相互独立，则有27例6设X与Y是两个相互独立的随机变量，它们的概率密度分别为求的概率密度。解:FZ(z)=P{Z≤z}随机变量Z的分布函数为28xy当z≤0时当z>0时FZ(z)=0方法I：随机变量(X,Y)的概率密度为FZ(z)29方法II：由公式可知，Z的概率密度为在上述积分中y>0，所以可得当z≤0时yz≤0当z>0时yz>0fX(yz)=0fX(yz)=e-yzfZ

8、(z)=0此时有30(III)Max和Min分布:Z=max(X,Y)或Z=min(X,Y)(1)Z=max{X,Y}的分布函数：FZ(z)=P{Z≤z}又X与Y相互独立则有FZ(z)=P{X≤z}P{Y≤z}=FX(z)FY(z)=P{X≤z,Y≤z}设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y)。31(2)Z=min{X,Y}的分布函数:FZ(z)=P{Z≤z}=1P{Z>z}=1P{X>z,Y>z}又X与Y相互独立则有FZ(z)=1P{X>