.3.5二维随机变量的函数的分布.ppt

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1、在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数Yi=gi(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m的联合分布?13.5二维随机变量的函数的分布由(X,Y)的分布导出Z=g(X,Y)的分布2一、(X,Y)为二维离散型随机变量若X和Y相互独立,则有3例1设(X,Y)的分布律为:XY1122101/122/122/121/121/1202/121/122/12试求Z=X+Y的分布律4解:由已知,可得:(X,Y)(2,1)(

2、2,1)(2,2)(1,1)P1/122/122/121/12Z3102(X,Y)(1,1)(1,2)(0,1)(0,1)(0,2)P1/1202/121/122/12Z011125∴Z=X+Y的分布律为:Z321012P1/121/124/123/121/122/126二、(X,Y)为二维连续型随机变量1.一般函数的分布即Z的分布函数是(X,Y)落入区域D:g(x,y)≤z的概率FZ(z)=P{Z≤z}=P{g(X,Y)≤z}fZ(z)=FZ(z)7设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度.解:Z=X+Y的分布函数是:FZ(z)=P(Z≤z)

3、=P(X+Y≤z)这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.2.Z=X+Y型分布8化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得变量代换交换积分次序9由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.10特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:这两个公式称为卷积公式.下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度11例2设X和Y是相互独立的随机变量,且都服从标准正态分布N(0,1).试求

4、:Z=X+Y的概率密度解:FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}12xyx+y=z令y=tx则13令14则可见，Z～N(0,2)分布15一般,X与Y相互独立,且X～N(1,12),Y～N(2,22)则Z=X+Y仍然服从正态分布,且Z～N(1+2,12+22),还可推广:有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布16例3设X与Y相互独立,它们的概率密度分别为:试求:Z=X+Y的概率密度解:17当z<0时,当0≤z<1时,xy0z1FZ(z)=0fZ(z)=0=z1+ezfZ(z)=FZ(z)=1ez18当z≥1时,01zxy综合,得:=1+

5、eze1zfZ(z)=FZ(z)=(e1)ez19设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X/Y的密度.解:Z=X/Y的分布函数是:FZ(z)=P(Z≤z)=P(X/Y≤z)这里积分区域D={(x,y):x/y≤z}为阴影部分的面积.xyX/Y=z3.Z=X/Y型分布20化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=yu,得xy21交换积分次序变量代换22由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X/Y的概率密度为:特别地，如果X和Y相互独立，则上式可写成：23例4设X与Y相互独立,它们的概率密度分别为:求的概率密度解:FZ(z)=P{Z≤z}24xy当z≤0时

6、,当z>0时,FZ(z)=025264.Z=max{X,Y}或Z=min{X,Y}的分布(1)Z=max{X,Y}的分布函数:FZ(z)=P{Z≤z}若X与Y相互独立则FZ(z)=P{X≤z}P{Y≤z}=FX(z)FY(z)=P{X≤z,Y≤z}27(2)Z=min{X,Y}的分布函数:FZ(z)=P{Z≤z}=1P{Z>z}=1P{X>z,Y>z}若X与Y相互独立则FZ(z)=1P{X>z}P{Y>z}=1[1P{X≤z}][1P{Y≤z}]=1[1FX(z)][1FY(z)]28例5对某种电子装置的输出测量了5次,得到的观察值为X1,X2,X3,X4,X5,设它

7、们是相互独立的装置,且都服从同一分布试求:Z=max{X1,X2,X3,X4,X5}>4的概率29P{Z>4}=1P{Z≤4}=1FZ(4)由已知,有FZ(z)=[F(z)]5则P{Z>4}=1[F(4)]5=1(1e－2)5解:301.要理解二维随机变量的概念及其分布函数的定义及性质3.要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系2.会求二维离散型随机变量的分布律和二维连续型随机变量的分布函数4.要理解随机变量的独立性5.要会求