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1、3.3二维随机变量函数的分布已知随机变量(X,Y)的分布，求Z=g(X,Y)的概率分布，其中z=g(x,y)是连续函数。一、两个离散型随机变量的函数的分布例3.19已知随机变量(X,Y)的联合分布律为试求Z1=X+Y，Z2=max(X,Y)的分布律。YX1211/51/5201/531/51/5解Z1的所有可能取值为2,3,4,5P(Z1=2)=P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)=1/5P(Z1=3)=P(X+Y=3)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=1/5P(Z1=4)=P(X+Y=4)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=2/5P(Z
2、1=5)=P(X+Y=5)=P(X=3,Y=2)=1/5Z1的分布律为Z12345P1/51/52/51/5YX1211/51/5201/531/51/5Z2=max(X,Y)的所有可能取值为1,2,3P(Z2=1)=P(X=1,Y=1)=1/5P(Z2=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=1/5+0+1/5=2/5P(Z2=3)=P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2)=1/5+1/5=2/5Z2的分布律为Z2123P1/52/52/5例3.20设随机变量X与Y相互独立，它们分别服从参数为λ1和λ2的泊松分布，证明Z=X+
3、Y服从参数为λ1+λ2的泊松分布。证k1=0,1,2,…k2=0,1,2,…Z=X+Y的所有可能取值为0,1,2,3,…X~P(λ1)Y~P(λ2)因此Z~P(λ1+λ2)k=0,1,2,…二维离散型随机变量函数的分布设二维离散型随机变量（X，Y），(X,Y)～P(X＝xi,Y＝yj)＝pij，i,j＝1,2,…则Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,k＝1,2,…(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pijp11p12…pij…Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)…g(xi,yj)…例3.21设随机变量(X,Y)的概率分布为X
4、Y-1012-10.20150.10.320.100.10.05求随机向量(X,Y)的函数的分布(1)Z1=X+Y(2)Z2=XY。(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,0)(2,1)(2,2)pij0.20.150.10.30.100.10.05Z1=X+Y-2-1011234Z2=XY10-1-2-2024Z1的分布律为Z1-2-101234pk0.20.150.10.400.10.05Z2的分布律为Z2-2-10124pk0.40.10.150.20.10.05练习.设随机变量X与Y独立，且均服从0-1分布，其分布律
5、均为(1)求W＝X＋Y的分布律;(2)求V＝max(X,Y)的分布律；(3)求U＝min(X,Y)的分布律；(4)求Z=X2+3Y。解：(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijW＝X＋YV＝max(X,Y)U＝min(X,Y)Z=X2+3Y0 1 1 20 1 1 10 0 0 20 3 1 4二、两个连续型随机变量的函数的分布设二维随机向量(X,Y)~f(x,y)，z=g(x,y)是连续函数，则随机变量Z=g(X,Y)的分布函数为即FZ(z)可利用f(x,y)在平面区域：G={(x,y)
6、g(x,y
7、)≤z}上的二重积分得到。Z=g(X,Y)的密度函数为三、常用的随机变量的函数的分布1、和的分布设(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R2,Z=X+Y，则Z是连续型随机变量，且Z的概率密度为此两公式称为卷积公式。或证明对任意的z∈R，Z=X+Y的分布函数为Oxyz=x+y固定x交换积分次序所以z∈R同理可得z∈R特别地，当X,Y相互独立时，或其中，fX(x)，fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘密度。上式也称为fX(z)与fY(z)的卷积公式例3.22设(x,y)~N(0,0,1,1,0)，试求Z=X+Y的密度函数解由于=0，所以X与Y相互独立，且所以Z的
8、密度函数为令此式说明Z~N(0,2)一般地，(1)又X与Y相互独立，则(2)Y=aX+b(a,b为常数，且a≠0),则(3)X与Y相互独立，且α,β是不全为0的常数，则(4)Xi相互独立，αi,是不全为0的常数，i=1,2,3,…,n，则相互独立的正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量。几个结论：(1)正态分布:设随机变量X1,X2，...,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,...,n,则(2)普洼松分布：设随机变量X1,X2独立且Xi服从普洼松分布(i)(i=1,2),则X1＋X2～(1＋2)(3)二项分布：设随机变量X1,X2独
9、立且Xi服从二项分布b(
