二维随机变量的函数的分布课件.ppt

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1、第三章§3.5二维随机变量的函数的分布第十一讲一、二维离散型随机变量的函数的分布二、二维连续型随机变量的函数的分布1.二维离散型随机变量的函数的分布设离散型随机变量(X,Y)的分布律为设为二元函数，因为(X,Y)是离散的，故当时，Z相应的值为且有也是离散型随机变量，现在求其分布律。设随机变量(X,Y)的分布律为分别求的分布律，并判断是否相互独立。解:且可以求得例1因为X=1,Y=1X=1,Y=-1不相互独立。故解:由题意可知假设随机变量X与Y相互独立，它们分别服从参数为的泊松分布。求的分布律。例2故由独立性得故泊松分布参数具有可加性！2

2、.二维连续型随机变量的函数的分布问题：已知(X,Y)的联合分布，求Z=g(X,Y)的分布。只讨论两种比较常见的函数：Ⅰ.Ⅱ.Ⅰ.Z=X+Y的分布已知(X,Y)的概率密度为设的分布函数为，则有由X与Y的对称性知特别地，当X与Y相互独立时，有上式称为的卷积公式，记为（1）设X和Y相互独立且都服从标准正态分布，则（2）设X和Y相互独立且都服从正态分布定理(正态分布的可加性)若随机变量相互独立且，则有为常数。其中设(X,Y)的概率密度是求(1)c的值;(2)两个边缘密度；解:(1)c=1xy0y=x例3分部积分(2)xy0y=xxy0y=xx+

3、y=11/2xz0z=2x分部积分解:结合概率密度的非0区域可得设随机变量(X,Y)的概率密度为试求随机变量Z=X–Y的概率密度。例4①②③综上得故Z=X-Y的概率密度为Ⅱ.的分布最大最小分布有广泛的应用：在一个系统中要考虑元件组的最大最小寿命；建筑桥梁时，要考虑使用期内洪水最高水位等。这些问题的解决对经济建设是有很大意义的。已知X,Y相互独立，且，求M和N的分布函数。解的分布函数为的分布函数为为推广：设独立同分布，的分布函数与为M,N的分布函数，则有设随机变量X的概率密度为相互独立且与X有相同的分布，随机变量试求随机变量的概率密度和解

4、:X的分布函数为例5的分布函数为所以M的概率密度为于是设系统L由两个相互独立的子系统⑶备用（当系统1损坏时，系统2开始工作）。设试求系统L的寿命Z的概率密度。连结而成，连接的方式分别为⑴串联；⑵并联；的寿命分别为X,Y，并且X,Y的密度函数为例6⑴⑵⑶解:由题意可得同理则⑴故⑵故⑶时，时，故作业12P88：5P91:22