直接证明与间接证明(教师版)

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1、直接证明与间接证明基础梳理一、直接证明:从命题的条件或结论出发,根据已知的、、等,通过推理直接推导出所要证明的结论,这种证明方法称为直接证明,常用直接证明方法和1:综合法:一般的,利用已知条件和某些数学、、等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式:“已知→可知→可知→…结论”。2:分析法:一般的,从要证明的结论出发,逐步寻求使成立的条件,直至最后,把证明的结论归结为判定一个为止,这种证明方法叫做分析法,分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式:“结论→需知→需知→…已知”。说

2、明:在实际证题过程中,分析法与综合法是统一运用的,把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的。没有分析就没有综合;没有综合也没有分析。问题仅在于,在构建命题的证明路径时,有时分析法居主导地位,综合法伴随着它;有时却刚刚相反,是综合法导主导地位,而分析法伴随着它。二、间接证明:1:反证法:一般的,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明力原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。在反证法中,经过正确的推理后:“得出矛盾”,所得矛盾主要是指与矛盾,与矛盾,或与矛盾。2:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是:,。在完

3、成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n成立。说明:1.归纳法:由特殊事例推出一般结论的推理方法.有不完全归纳法,完全归纳法.2.数学归纳法:对于与正整数有关的命题证明:①当n=n0(每第一个值)时成立;②假设n=k(k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题成立;这就证明了命题对n0以后的所有正整数都成立。(1)事实上:第一步证明了“归纳基础”;第二步证明了“递推规律”——“若n=k命题成立,则n=k+1命题成立”,从而可以无限的递推下去,保证了对n0以后的所有正整数都成立。(2)两点注意:①两步缺一不可(如命题2)②证“

4、n=k+1成立”必用“n=k成立”(归纳假设)如对于等式2+4+……2n=n2+n+1可以证明“假设n=k时成立,则n=k+1时也成立”,没有归纳基础。事实上这个等式是不成立的。3.数学归纳法的应用:证明等式、不等式、整除性;探求平面几何及数列问题;小结:综合法和分析法的特点:“顺推证法”或“有因导果法”是综合法的两种形象的说法,“逆推证法”或“执果索因法”是分析法的两种形象的说法,反证法主要使用与要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的不够清晰,如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很小的几种

5、情形,运用数学归纳法,可以证明下列问题:与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。7典型例题例1.已知x+y+z=1,求证x+y+z分析:应用基本不等式a+b2ab,结合不等式的性质—同向不等式求和,可证的此不等式【规律总结】综合法证明不等式时,以基本不等式为基础,以不等式的性质为依据,进行推理论证,因此,关键是找到与要证明结论相匹配,的基本不等式及其不等式的性质,【跟踪练习】在三角形ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证三角形ABC为等边三角形

6、例2若a,b,c是不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc。证明:要证lg+lg+lg>lga+lgb+lgc,只需证lg··>lg(a·b·c),只需证··>abc。但是,,,。且上述三式中的等号不全成立,所以,··>abc。因此lg+lg+lg>lga+lgb+lgc。分析:从定不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接从待证不等式出发,分析其成立的重要条件例3.(2010北京理)设数列{an}的首项a1=a≠,且,记,n==l,2,3,…·.(I)求a2,a3;(II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;解:(

7、I)a2=a1+=a+,a3=a2=a+;(II)∵a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,7所以b1=a1-=a-,b2=a3-=(a-),b3=a5-=(a-),猜想:{bn}是公比为的等比数列·证明如下:因为bn+1=a2n+1-=a2n-=(a2n-1-)=bn,(n∈N*)所以{bn}是首项为a-,公比为的等比数列·【规律总结】综合法和分析法各有优缺点,从寻求解题思路来看,综合法由因倒果,往往枝节横生,不容易奏效;分析法枝果索因,常常根底渐进,有希望成功,就表达证明过程而论,,因此,在实际解题时常常把分析发和综合发结合起来证明,先以分析

8、法为主寻求解题思路,再用综合法有条例的表述解答或证明过程,有时要把分析和综合结合起来交替使用,才能成功【跟踪练习】如果不等

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