直接证明与间接证明(教师版)

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1、直接证明与间接证明基础梳理一、直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的、、等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明，常用直接证明方法和1：综合法：一般的，利用已知条件和某些数学、、等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知→可知→可知→…结论”。2：分析法：一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使成立的条件，直至最后，把证明的结论归结为判定一个为止，这种证明方法叫做分析法，分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论→需知→需知→…已知”。说

2、明：在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的。没有分析就没有综合；没有综合也没有分析。问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚刚相反，是综合法导主导地位，而分析法伴随着它。二、间接证明：1：反证法：一般的，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明力原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。在反证法中，经过正确的推理后：“得出矛盾”，所得矛盾主要是指与矛盾，与矛盾，或与矛盾。2：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：，。在完

3、成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n成立。说明：1.归纳法:由特殊事例推出一般结论的推理方法.有不完全归纳法,完全归纳法.2.数学归纳法:对于与正整数有关的命题证明：①当n=n0（每第一个值）时成立；②假设n=k（k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题成立；这就证明了命题对n0以后的所有正整数都成立。(1)事实上:第一步证明了“归纳基础”；第二步证明了“递推规律”——“若n=k命题成立，则n=k+1命题成立”，从而可以无限的递推下去，保证了对n0以后的所有正整数都成立。(2)两点注意:①两步缺一不可（如命题2）②证“

4、n=k+1成立”必用“n=k成立”（归纳假设）如对于等式2+4+……2n=n2+n+1可以证明“假设n=k时成立，则n=k+1时也成立”，没有归纳基础。事实上这个等式是不成立的。3．数学归纳法的应用:证明等式、不等式、整除性；探求平面几何及数列问题；小结：综合法和分析法的特点：“顺推证法”或“有因导果法”是综合法的两种形象的说法，“逆推证法”或“执果索因法”是分析法的两种形象的说法，反证法主要使用与要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的不够清晰，如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很小的几种

5、情形，运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。7典型例题例1．已知x+y+z=1，求证x+y+z分析：应用基本不等式a+b2ab，结合不等式的性质—同向不等式求和，可证的此不等式【规律总结】综合法证明不等式时，以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证，因此，关键是找到与要证明结论相匹配，的基本不等式及其不等式的性质，【跟踪练习】在三角形ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c且A,B,C成等差数列，a,b,c成等比数列，求证三角形ABC为等边三角形

6、例2若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg+lg+lg＞lga+lgb+lgc。证明：要证lg+lg+lg＞lga+lgb+lgc，只需证lg··>lg（a·b·c），只需证··＞abc。但是，，，。且上述三式中的等号不全成立，所以，··＞abc。因此lg+lg+lg＞lga+lgb+lgc。分析：从定不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的重要条件例3.(2010北京理)设数列{an}的首项a1=a≠，且,记，n＝＝l，2，3，…·．（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；解：（

7、I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；（II）∵a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,7所以b1=a1－=a－,b2=a3－=(a－),b3=a5－=(a－),猜想：{bn}是公比为的等比数列·证明如下：因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn,(n∈N*)所以{bn}是首项为a－,公比为的等比数列·【规律总结】综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因倒果，往往枝节横生，不容易奏效；分析法枝果索因，常常根底渐进，有希望成功，就表达证明过程而论，，因此，在实际解题时常常把分析发和综合发结合起来证明，先以分析

8、法为主寻求解题思路，再用综合法有条例的表述解答或证明过程，有时要把分析和综合结合起来交替使用，才能成功【跟踪练习】如果不等