微积分（上） 课后习题答案解析试卷 2-3隐函数和参数方程的导数（不全）

《微积分（上） 课后习题答案解析试卷 2-3隐函数和参数方程的导数（不全）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《微积分A》习题解答习题2.3(P111)1．求下列隐函数的导数.y(2)y=1−xeyyye解：两端同时对x求导：y′=−e−xe⋅y′，故y′=−y1+xey(4)e=sin(x+y)ycos(x+y)解：两端同时对x求导：ey′=1(+y′)cos(x+y)，故y′=ye−cos(x+y)yx(6)x=yyx解：方程两端取对数：ylnx=xlny，两端同时对x求导：y′lnx+=lny+⋅y′xyy(xlny−y)故y′=x(ylnx−x)注：(6)最易出的错误是：利用幂函数或指数函数求导公式直接对原方程求

2、导.实质上，方程两端均为幂指函数.ds2．设sin(ts)+ln(s−t)=t，求的值.dtt=0解：由原方程可知，当t=0时，s=1s′−1方程两端同时对t求导：(′ts+s)cos(ts)−=1s−tds将t=0，s=1代入得：=1dtt=04．用对数求导法计算下列函数的导数.cosx(1)y=(sinx)(sinx>)0y′cosx解：lny=cosxlnsinx，两端同时对x求导：=(−sinx)lnsinx+cosx⋅，ysinx第2章导数与微分第3节隐函数和参数方程的导数1/5《微积分A》习题解答⎡c

3、os2x⎤cosx故y′=(sinx)⎢−(sinx)lnsinx⎥⎣sinx⎦5x−5(3)y=32x+2112解：lny=[ln(x−)5−ln(x+2)]，两端同时对x求导：53y′12x15x−5⎡12x⎤=−，故y′=⎢−⎥232y(5x−)515(x+)25x2+2⎣x−5(3x+)2⎦2xxx(5)y=x+22xxx解法1：设y1=x，y2=2，则y′=y1′+y′22xxlnx而lny1=xlnx，lny2=xln2=eln2y1′x2+1两式分别两端同时对x求导：=2xlnx+x=x2(lnx+

4、)1，y1′=x2(lnx+)1y1y′2xxxx=x(lnx+)1⋅ln2，y′2=2⋅x(lnx+)1⋅ln2y22xx+1xx故y′=x2(lnx+)1+2⋅x(lnx+)1⋅ln22x2xlnxxlnxxln2xlnx(ln)2e解法2：y=e+e=e+e，利用复合函数求导法（略）5．求由下列参数方程所确定函数的导数.⎧x=θ1(−sinθ)(2)⎨⎩y=θcosθxθ′=1−sinθ−θcosθdyyθ′cosθ−θsinθ解：，故==yθ′=cosθ−θsinθdxxθ′1−sinθ−θcosθ⎧x=

5、ln(1+t2)(4)⎨⎩y=t−arctant2′2t1tdyytt解：x′t=2，yt′=1−2=2，故=′=1+t1+t1+tdxxt2第2章导数与微分第3节隐函数和参数方程的导数2/5《微积分A》习题解答⎧x=f(t)−πdy6．设有参数方程⎨3t，其中f(x)可导，且f′)0(≠0，求的值.⎩y=f(e−)1dxt=0′3t3t3t3tdyyt3ef′(e−)1dy解：xt′=f′(t)，y′t=3ef′(e−)1，==，故=3dxxt′f′(t)dxt=0⎧3at⎪x=2⎪1+t8．求参数方程⎨2在t

6、=2处的切线方程和法线方程.3at⎪y=⎪⎩1+t222223a1(+t)−3at⋅2t3a1(−t)6at1(+t)−3at⋅2t6at解：x′t=22=22,y′t=22=221(+t)1(+t)1(+t)1(+t)dy6tdy6t4612所以=，==−，且当t=2时，x=a，y=a，dx2dx23551(3−t)t=21(3−t)1246故切线方程为：y−a=−(x−a)，即3y+4x−12a=05351236法线方程为：y−a=(x−a)，即4y−3x−6a=0545πθ2π9．求对数螺线ρ=e在点(ρ,

7、θ)=(e,)处切线的直角坐标方程.2⎧θπx=ecosθπ解：对数螺线的参数方程为：⎨，且当θ=时，x=0，y=e2θ2⎩y=esinθθθdyesinθ+ecosθsinθ+cosθdy==，=−1dxeθcosθ−eθsinθcosθ−sinθdxπθ=2ππ故切线方程为：y−e2=−x，即x+y−e2=010．设球的半径以速率v变化，求球的体积和表面积的变化率.dR解：设在时刻t球的半径为R(t)、球的体积为T(t)，球的表面积S(t)，由题意知=v，dt432dT2dR2dSdR由T=πR，S=4πR，

8、得=4πR⋅=4πRv，=8πR⋅=8πRv3dtdtdtdt第2章导数与微分第3节隐函数和参数方程的导数3/5《微积分A》习题解答311．一倒置圆锥形容器的底半径为2m，高为4m，水以2m/min的速率注入容器，求水深3m时,水面上升的速率.解：设在时刻t容器中水面的底半径为r(t)，高为h(t)，体积为v(t)，dv3112π3由题意知=2m/min，r(t)=h(t