微积分（上） 课后习题答案解析试卷 2-4高阶导数（不全）

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1、《微积分A》习题解答习题2.4(P118)1．求下列函数的高阶导数.−sinx(1)y=e，求y′′.−sinx−sinx2−sinx−sinx2解：y′=−cosxe，y′′=sinxe+cosxe=e(sinx+cosx)2(2)y=ln(x+x+)1，求y′′.x1+2112x−xx+1解：y′==，y′′=−=x+x2+1x2+12(x2+)13(x2+)132x(3)y=e⋅sin(2x+)1，求y′′.2x2x2x解：y′=2e⋅sin(2x+)1+2ecos(2x+)1=2e[sin(2x+)1+cos(2x+1)]2x

2、2xy′′=4e[sin(2x+)1+cos(2x+1)]+2e2[cos(2x+)1−2sin(2x+1)]2x=8e⋅cos(2x+)111+x1(4)y=ln−arctanx，求y′′.41−x211解：y=[ln(1+x)−ln(1−x)]−arctanx4211111111y′=[+]−=(−)22241+x1−x21+x21−x1+x412x2x2x1(+x)y′′=[+]=22224221(−x)1(+x)1(−x)a+bx(n)(5)y=ln，求y.a−bx(n)n−1(n−1)!解：y=ln(a+bx)−ln(a−b

3、x)，由()lnx=(−)1及复合函数求导法得：nx(n)nn−1(n−1)!nn−1(n−1)!y=b(−)1−(−b)(−)1nn(a+bx)(a−bx)第2章导数与微分第4节高阶导数1/6《微积分A》习题解答⎡(−)1n−11⎤n=b(n−1)!⎢+⎥nn⎣(a+bx)(a−bx)⎦44(n)(6)y=sinx−cosx，求y.442222解：y=sinx−cosx=(sinx+cosx)(sinx−cosx)=−cos2x(n)nπ(n)nnπ由()cosx=cos(x+)及复合函数求导法得：y=−2cos(2x+)222x+

4、2(n)(7)y=，求y.2x+2x−311解：y=+，x+3x−1(n)nn!nn!n⎛⎜11⎞⎟y=(−)1+(−)1=(−)1n!+n+1n+1⎜n+1n+1⎟(x+)3(x−)1⎝(x+)3(x−)1⎠ax(n)(8)y=esinbx，求y.bab解：设sinϕ=，则cosϕ=，ϕ=arctan，则a2+b2a2+b2aaxaxaxy′=aesinbx+becosbx=e(asinbx+bcosbx)ax22ab=ea+b(sinbx+cosbx)2222a+ba+bax22ax22=ea+b(cosϕsinbx+sinϕco

5、sbx)=ea+bsin(bx+ϕ)同理可得：ny(n)=eax(a2+b2)nsin(bx+nϕ)y(n)=(a2+b2)2eaxsin(bx+narctanb)a1−x(n)(9)y=，求y.1+x(n)2(n)⎛1⎞解：y=−1，y=2⎜⎟(n≥)11+x⎝1+x⎠(n)⎛1⎞nn!(n)nn!由⎜⎟=(−)1及复合函数求导法得：y=(−)1⋅2⋅xn+1n+1⎝⎠x1(+x)第2章导数与微分第4节高阶导数2/6《微积分A》习题解答2(15)(10)y=(x+x+)1sinx，求y.2(n)nπ解：令u=sinx，v=x+x+1

6、，则u=sin(x+)，v′=2x+1，v′′=2，2(n)v=0(n≥)3，由莱布尼兹公式得：(15)(15)1(14)2(13)y=uv+C15uv′+C15uv′′2=(x+x+1)(−cosx)+15(−sinx)(2x+)1+15×14cosx2=(209−x−x)cosx−152(x+)1sinx2(n)3．设函数f(x)有任意阶导数，且f′(x)=f(x)，求f(x).324解：f′′(x)=2f(x)f′(x)=2f(x)，f′′′(x)=!3f(x)f′(x)=!3f(x)(n)n+1LLLLLLLLLLL,f(x)

7、=n!f(x)4．求下列隐函数的二阶导数.22y(2)lnx+y=arctanx122y解：原式化为：ln(x+y)=arctan，2x12x+2yy′1y′x−y两端同时对x求导得：⋅=⋅22222x+y⎛y⎞x1+⎜⎟⎝x⎠x+y故(x−y)y′=x+y，y′=x−y上式两端再同时对x求导：1(−y′)y′+(x−y)y′′=1+y′，+′2221(y)(2x+y)即y′′==x−y3(x−y)x+y(4)xy=e第2章导数与微分第4节高阶导数3/6《微积分A》习题解答x+yx+ye−y解：两端同时对x求导得：y+yx′=e1(+

8、y′)，y′=x+yx−e′+′′=x+y+′2+x+y′′上式两端再同时对x求导：2yyxe1(y)eyx+y+′2−′x+y2x+yx+ye1(y)2ye(x−y)−(2e−y)(x−e)故y′′==x+yx+y3x