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《微积分（上） 课后习题答案解析试卷 4-4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.4定积分的计算4.4.1定积分的换元法假设定理（1）f(x)在[a,b]上连续；（2）函数x(t)βα=ϕ在[α,β](或[,])上有连续导数；（3）当t在区间[,]βααβ(或[,])上变化时，x=ϕ(t)的值在[a,b]上变化，且ϕ(α)=a、ϕ(β)=b，bβ则有∫f(x)dx=∫f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt.aα定积分换元公式证因为f(x)在[a,b]上连续，故f(x)有原函数.设F(x)是f(x)的一个原函数，则b∫f(x)dx=F(b)−F(a)addFdxQF(ϕ(t))=⋅=f(x)ϕ′(t)=f[ϕ(t)]ϕ′(t),dtdxdt∴F(ϕ(t)
2、)是f[(t)](t)ϕϕ′的一个原函数.β[()]()(())(()),∫fϕtϕ′tdt=Fϕβ−Fϕαα因为ϕ(α)=a、ϕ(β)=b,F[ϕ(β)]−F[ϕ(α)]=F(b)−F(a)bf(x)dx=F(b)−F(a)=β′∫∫f[ϕ(t)]ϕ(t)dtaα应用换元公式时应注意:从定积分的换元公式可以看出：定积分换元后不像不定积分的换元必须要还原，所以这里并不要求变换x=ϕ(t)具有反函数，而是在把变量x换成新变量t时，积分限必须相应的改变.(即：换元必换限)π35例1计算∫sinx−sinxdx.0335解Qf(x)=sinx−sinx=cosx()sin
3、x2ππ335∴∫sinx−sinxdx=∫cosx()sinx2dx00π3π3=∫2cosx()sinx2dx−∫πcosx()sinx2dx02π3π3=∫2()sinx2dsinx−()sinx2dsinx∫π02ππ252254=()sinx2−()sinx2=.505π52a1例2计算∫dx.(a>)00x+a2−x2解令x=asint,dx=acostdt,πx=a⇒t=,x=0⇒t=,02πacost原式=∫2dt0asint+a21(−sin2t)ππ=2costdt=12⎛1+cost−sint⎞dt∫∫⎜⎟0sint+cost20⎝sint+c
4、ost⎠π1π1π=⋅+[]lnsint+cost2=.02224例3(书中例4)若f(x)在[−a,a]上连续，且有①f(x)为偶函数，则aa∫f(x)dx=2∫f(x)dx；−a0a②f(x)为奇函数，则∫f(x)dx=0.−aa0a证∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx,−a−a00在∫f(x)dx中令x=−t,−a00a∫−af(x)dx=−∫af(−t)dt=∫f(−t)dt,0①f(x)为偶函数，则f(−t)=f(t),a0a∫−af(x)dx=∫−af(x)dx+∫0f(x)dxa=2∫f(t)dt;0②f(x)为奇函数，则f(−t)=−f(
5、t),a0a∫−af(x)dx=∫−af(x)dx+∫0f(x)dx=.0212x+xcosx例4计算∫dx.−11+1−x2212x1xcosx解原式=∫dx+∫dx−12−121+1−x1+1−x偶函数奇函数2221x1x1(−1−x)=4∫02dx=4∫dx1+1−x01−1(−x2)1122=4∫1(−1−x)dx=4−4∫1−xdx00单位圆的面积=4−π.例5(书中例5)若f(x)是周期为T的函数，证明a+TT∫af(x)dx=∫0f(x)dx(a是任意常数)a+T0Ta+T证∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx+∫f(x)dxaa0Ta+Ta
6、Q∫f(x)dx令x=t+T∫f(t+T)dtT0aa由周期性∫f(t)dt=∫f(x)dx00a+T0Ta∴∫af(x)dx=∫af(x)dx+∫0f(x)dx+∫0f(x)dxT=∫f(x)dx0周期函数在任何长度为一个周期的区间上的定积分都相等.5πsinxdx=2πsinxdx比如：∫3π∫0π20πsin2xdx=202sin2xdx再如：∫10π∫0π⎛1⎞2=20×⎜−cos2x⎟⎝2⎠0⎛11⎞=20×⎜+⎟=20⎝22⎠例6若f(x)在]1,0[上连续，证明ππ22（1）∫f(sinx)dx=∫f(cosx)dx;00πππ（2）∫xf(sinx)
7、dx=∫f(sinx)dx.020πxsinx由此计算(书中例6)dx.∫01+cos2xπ证（1）设x=−t⇒dx=−dt,2ππx=0⇒t=,x=⇒t=,022π20⎡⎛π⎞⎤∫f(sinx)dx=−∫πf⎢sin⎜−t⎟⎥dt02⎣⎝2⎠⎦ππ22=∫f(cost)dt=∫0f(cosx)dx;0n令f(x)=x则有ππ∫2sinnxdx=∫2cosnxdx00（2）设x=π−t⇒dx=−dt,x=0⇒t=π,x=π⇒t=,0π0∫xf(sinx)dx=−∫(π−t)f[sin(π−t)]dt0ππ=∫(π−t)f(sint)dt,0πππ∫xf(sinx
