微积分（上） 课后习题答案解析试卷 4-1

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1、微积分A(高等数学A)•主讲教师：钟漫如•E-mail:manruz@sina.com•课件拷贝：登陆校园网→教学教育→教育在线at天道酬勤，MhCasuesl学海无涯！cmlucita学习数学，求导人生！4.1定积分的概念与性质4.1.1引例引例1（求曲边梯形的面积）yy=f(x)曲边梯形由连续曲线y=f(x)(f(x)≥)0、A=?x轴与两条直线x=a、oabxx=b所围成.用矩形面积近似取代曲边梯形面积yyoabxoabx（四个小矩形）（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形面积的总和越接近曲边梯形面积．曲边梯形如图所示，(1)分割在区间[a,b]内插入若干个分点，a=x

2、x

3、时间间隔[T,T]上的一个连续函数，且12v(t)≥0，求物体在这段时间内所经过的距离思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的距离再相加，便得到距离的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得距离的精确值．（1）分割T=t

4、[a,b]中任意插入若干个分点a=x

5、x=I=lim∑f(ξ)Δx∫aiiλ→0i=1积分下限被积函数被积表达式积分变量[a,b]积分区间注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.bbb∫af(x)dx=∫af(t)dt=∫af(u)du（2）定义中区间的分法和ξ的取法是任意的.iba(3)规定f(x)dx=−∫f(x)dx∫aba∫f(x)dx=0a由定积分的定义可知引例1的曲边梯形的面积可表示为bA=∫f(x)dxa即曲边梯形的面积等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.引例2的变速直线运动的距离可表示为T2S=∫v(t)dtT1即变速直线运动的距离等于速度函数v(t)在区间[T,T]上的

6、定积分.122.定积分存在的条件问题:函数f(x)在[a,b]上满足怎样的条件,f(x)在[a,b]上可积?如果函数f(x)在[a,b]上无界,积分和式不可能存在极限,函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是函数f(x)在[a,b]上有界.定理1若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积.定理2设函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积.3.定积分的几何意义bf(x)≥,0∫f(x)dx=A曲边梯形的面积abf(x)≤,0∫f(x)dx=−A曲边梯形的面积a的负值AA31A2A4bf(x)dx=A−A+A−A∫

7、a1234b∫f(x)dx的几何意义：a它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a,x=b之间的各部分面积的代数和．在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号．++−−12例1利用定义计算定积分∫xdx.0解将]1,0[n等分，0x1x2Lxi−1xiLxn−111小区间[x,x]的长度Δx=，(i=,2,1L,n)i−1iini分点为x=，(i=,2,1L,n)in取ξ=x，(i=,2,1L,n)iinnn22∑f(ξi