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《微积分（上） 课后习题答案解析试卷 5-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.5线性常系数齐次方程n阶线性常系数微分方程的标准形式(n)(n−)1y+Py+L+Py′+Py=f(x)1n−1n其中P,PLP为常数.12n二阶线性常系数齐次方程的标准形式y′′+yp′+qy=0其中p,q为常数.二阶线性常系数非齐次方程的标准形式y′′+yp′+qy=f(x)其中p,q为常数.1.二阶线性常系数齐次线性方程解法y′′+py′+qy=0y=0是零解.以下求非零解属y′′=f(y,y′)型繁!rx设y=e,将其代入上方程,得2rxrx(r+pr+q)e=0Qe≠,02故有r+pr
2、+q=0特征方程特征方程的写法将方程中的y写为r,将方程中的导数阶数对应写为方幂，方程中的系数不变。22−p±p−4q令Δ=p−4q特征根r=,2,12(1)有两个不相等的实根Δ>,0r1≠r222−p+p−4q−p−p−4q特征根为r=,r=,1222两个线性无关的特解r1xy=er2xy=e,2,1r1xr2x得方程的通解为y=Ce+Ce;12(2)有两个相等的实根Δ=0r1=r2pr1x特征根为r1=r2=−,一特解为y1=e,2设另一特解为y=u(x)y,u(x)为待定函数.21y′2=u′
3、y1+uy1′,y′2′=u′′y1+2u′y1′+uy1′′,将y，y′，y′′代入原方程,得222u(y′′+yp′+qy)+u′2(y′+py)+u′′y=0111111pQy′′+yp′+qy=,0y′=ry,r=−,y≠0111111112r1x知u′′=,0取u(x)=x,则y2=xe,r1x得方程的通解为y=(C1+C2x)e;或利用刘维尔公式求y2(3)有一对共轭复根Δ<0r2,1=α±iβ,特征根为r=α+iβ,r2=α−iβ,1(α+iβ)x(α−iβ)x二个线性无关解.y1=e
4、,y2=e(α+iβ)x(α−iβ)x得齐次方程的通解为y=Ce+Ce12方程的复函数形式的解.为了得到实函数形式的解,用欧拉（Euler）公式ixe=cosx+isinx(α+iβ)xαxαxQe=ecosβx+iesinβxαxαx由4.5节定理3知:ecosβx,esinβx也是原方程的两个线性无关的特解.故方程的实函数形式通解为αxy=e(Ccosβx+Csinβx)12求二阶线性常系数齐次方程y′′+py′+qy=0通解的步骤：2（1）写出相应的特征方程r+pr+q=0（2）求出特征根（3
5、）依据特征根的情况，写出方程的通解特征根的情况通解的表达式rxrx实根r≠ry=Ce1+Ce21212rx实根r=ry=(C+Cx)e21212αx复根y=e(Ccosβx+Csinβx)r2,1=α±iβ12由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征根法.例1(书中例1)求方程y′′+3y′+2y=0的通解。2解：特征方程为r+3r+2=0解得特征根r=−,2r=−112−2x−x方程的通解为y=Ce+Ce12例2(书中例2)求解初值问题⎧y′′−12y′+36y=0⎨y
6、=,1y
7、′
8、=0⎩x=0x=02解：特征方程为r−12r+36=02即(r−)6=0方程有重根r=66x方程的通解为y=(C+Cx)e代入初始条件得12⎧C1=1⎧C1=1⎨⇒⎨⎩6C1+C2=0⎩C2=−66x故初值问题的解为y=1(−6x)e例3(书中例3)求方程y′′+2y′+5y=0的通解.2解特征方程为r+2r+5=,0解得r=−1±2i,1，2故所求通解为−xy=e(Ccos2x+Csin2x).12例求方程y′′+4y=0的通解2解特征方程为r+4=,0解得r1，2=±2i,故所求通解为y=C
9、cos2x+Csin2x12友情提示：一定要正确地写出常系数线性齐次微分方程的特征方程，特别是未知函数的导数有缺项时，很容易写错。2.n阶常系数线性齐次方程解法上述特征根法也适用于更高阶的线性常系数齐次微分方程。(n)(n−)1y+Py+L+Py′+Py=01n−1nnn−1特征方程为r+P1r+L+Pn−1r+Pn=0特征方程的根通解中的对应项k−1rx(C+Cx+L+Cx)e若是k重实根r01k−1k−1若是k重共轭[(D0+D1x+L+Dk−1x)cosβxk−1αx+(F+Fx+L+Fx)s
10、inβx]e复根α±iβ01k−1注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各有一个任意常数.y=Cy+Cy+L+Cy1122nn)4(例4(书中例4)求方程y−y=0的通解4解：特征方程为r−1=02即(r+()1r−1)(r+)1=0解得：r=−,1r=,1r=±i124,3故所求通解为−xxy=Ce+Ce+Ccosx+Csinx1234例5(书中例5）求方程)5()4()3(y+y+2y+2y′′+y′+y=0的通解.5432解
