微积分（上） 课后习题答案解析试卷 4-5

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1、4.5广义积分积分区间有限且被积函数是有界函数是定积分的两个前提,而在实际应用中常会遇到积分区间无限和被积函数无界的情况，因此要推广前面的定积分概念。推广后的积分称为广义积分（或称反常积分）,广义积分可分为两类.1.无穷区间上的广义积分1y=(x≥)1引例求由曲线x2，直线x=1及y=0所围成的面积S.1y=1(≤x≤b)任意取定b>1，由曲线x2，直线x=1，x=b及y=0所围成的曲边梯形的面积S可以表示为bybdx1S==1−y=1b∫122xbx当b增大Sb也增大，且当b无限O1bx增大时，Sb就无限接近于S定义设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取bb>a，如

2、果极限lim∫f(x)dx存在，则称此极b→+∞a限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的广义积+∞分，记作∫f(x)dx.a+∞b∫f(x)dx=lim∫f(x)dxab→+∞a当极限存在时，称该广义积分收敛；当极限不存在时，称该广义积分发散.+∞当∫af(x)dx收敛时，设F(x)是f(x)的原函数若记limF(x)=F(+∞)x→+∞+∞b则∫f(x)dx=lim∫f(x)dx=limF(b)−F(a)ab→+∞ab→+∞上式记为+∞+∞∫f(x)dx=F(+∞)−F(a)=F(x)aa这和定积分的牛顿–莱布尼兹公式形式相同.yxOab+∞几何上：当f(x)≥0时

3、，积分∫f(x)dxa表示由曲线y=f(x)、直线x=a、及x轴围成的无界区域面积；当积分收敛时，这个面积是一个有限数，若积分发散，则意味着此区域没有有限面积。类似地，设函数f(x)在区间(−∞,b]上连续，取ba

4、收−∞c敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区+∞间(−∞,+∞)上的广义积分，记作∫f(x)dx.−∞+∞c+∞∫−∞f(x)dx=∫−∞f(x)dx+∫cf(x)dxcb=lim∫f(x)dx+lim∫f(x)dxa→−∞ab→+∞c极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.+∞xdx有人说，被积函数是奇函数，.∫−∞1+x2故该积分为0。+∞xdx0xdx+∞xdx按定义，∫=∫+∫−∞1+x2−∞1+x201+x20而发散。0xdx12∫2=ln(1+x)−∞1+x2−∞算不出yxy=面积121+xo13xb+∞f(x)dxf(x)dx类似地,当∫−∞

5、与∫−∞收敛时,bb∫−∞f(x)dx=F(x)有公式−∞+∞+∞∫f(x)dx=F(x)−∞−∞+∞dx例1计算广义积分∫2.−∞1+x+∞dx0dx+∞dx解∫−∞2=∫−∞2+∫021+x1+x1+x[]0+∞=arctanx−∞+[arctanx]0⎛π⎞π=−⎜−⎟+=π.⎝2⎠2y11y=21+x−1o1x+∞11例2(书中例2）计算广义积分sindx.∫2x2xπ+∞11+∞1⎛1⎞解∫22sindx=−∫2sind⎜⎟πxxπx⎝x⎠+∞⎡1⎤=cos⎢⎥⎣x⎦2π⎡π⎤=.1=cos0−cos⎢⎥⎣2⎦+∞1dx例3(书中例6)设a>0,讨论广义积分∫a

6、xp的敛散性.+∞1+∞1+∞解p=,1∫pdx=∫dx=lnx=+∞,axaxa1−p+∞⎧+∞,p<1p≠,1∫+∞1x⎪1pdx==⎨1x1−p,p>1a⎪(p−)1ap−1⎩1因此当p>1时广义积分收敛，其值为p−1(p−1)a；当p≤1时广义积分发散.+∞−px例4证明广义积分∫edx当p>0时收敛，a当p<0时发散.+∞⎡−px⎤+∞e−px证∫edx=⎢−⎥a⎣p⎦a−ap⎧e⎪,p>0=⎨p⎪⎩∞,p<0即当p>0时收敛，当p<0时发散.2.无界函数的广义积分1y=引例求由曲线4x，直线x=0，x=1及y=0所围成的面积S.1y=任意取定t>0，由曲线4x

7、，直线x=t，x=1，x=b及y=0所围成的曲边梯形的面积S可以表示为t131dx43ySt=∫=x4=41(−t4)1t4y=x334xt+当t→0时，St就无限接近于S1dx4OxS=limS=lim=t1因而定义t→0+tt→0+∫t4x32.无界函数的广义积分定义设函数f(x)在区间(a,b]上连续，而limf(x)=∞aax→a+,即在点的右邻域内无界.(即点为无穷间断点,点a称为f(x)的瑕点)，取t>a，b如果极限tlima+∫tf(x)dx存在，则称此极限为函数→bf(x)dxf(x)在区间(a,b]上的广义积