2、均匀分ξ的值与布的量，用某个函数f(x)在i∈[xi−1,xi]Δxi的乘积近似代替ΔUi，即ΔU≈f(ξ)⋅Δx(i=,2,1Ln)iii(3)求和：将部分量ΔUi的近似值相加，得到U的近似值，即nnU=∑ΔUi≈∑f(ξi)Δxi.i=1i=1λ=max{Δx}(4)取极限：记1≤i≤ni，λ→0,得到U的精确值，即nbU=limf(ξ)Δx=f(x)dx∑ii∫λ→0a.i=1以上四个步骤最关键的是(2)(4)两个步骤。回顾曲边梯形求面积的问题面积微元nbA=lim∑f(ξi)Δxi=∫f(x)dx
3、λ→0ai=1若用ΔA表示任一小区间[x,x+dx]上的小曲边梯形的面积，ydAy=f(x)则A=∑ΔA，并取ΔA≈f(x)dx，于是A≈∑f(x)dxboaxx+dxbxA=lim∑f(x)dx=∫f(x)dx.a当所求量U符合下列条件,就可用定积分来表达：（1）U是与一个变量(比如x)的变化区间[a,b]有关的量；（2）U对于区间[a,b]具有可加性，就是说，如果把区间[a,b]分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；（3）部分量ΔU的近似值可表示为f(ξ)Δx；iii且二
4、者之间仅相差一个关于Δxi的高阶无穷小.除面积、路程外，体积、弧长、功、质量等满足上述条件，可用定积分计算；而力、速度等则不满足上述条件，不能直接用定积分计算.如前所述，建立定积分表达式的四个步骤可简化为：1）根据问题的具体情况，选取一个变量为积分变量（例如x），并确定它的变化区间[a,b]；2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任一小区间并记为[x,x+dx]，求出相应于这小区间的部分量ΔU的近似值.如果ΔU能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积，就把f(x)dx
5、称为量U的微元且记作dU，即dU=f(x)dx；3）设想将微元dU在积分区间[a,b]上“无限累加”，即以所求量U的微元f(x)dx为被积表达式，在区间[a,b]b上求定积分，得U=∫f(x)dx，a这个方法通常叫做微元法．4.6.2平面图形的面积1.直角坐标系下的面积公式yy=f(x)oaxx+dxbx曲边梯形的面积bA=∫f(x)dxayy=f(x)设平面图形由曲线y=f(x)、y=g(x)、直线x=a、x=b围成，oaxdxbx且f(x)≥g(x)y=g(x)在[a,b]上任取一小区间[x,x+dx
6、],dA=[f(x)−g(x)]dx该平面图形的面积bA=∫[f(x)−g(x)]dxay设平面图形由曲线dx(y)、x(y)、x=ϕ(y)=ϕ=ψdy直线y=c、y=d围成，yx=ψ(y)且ϕ(y)≥ψ(y)cox在[c,d]上任取一小区间[y,y+dy],dA=[ϕ(y)−ψ(y)]dy该平面图形的面积dA=∫[ϕ(y)−ψ(y)]dyc2例1(书中例1)计算由两条抛物线y=x和2y=x所围成的图形的面积.2解两曲线的交点x=y)0,0()1,1(2y=x选x为积分变量x∈]1,0[2面积微元dA=(
7、x−x)dx1312⎡23x⎤1A=∫(x−x)dx=x2−=.0⎣⎢33⎥⎦30选y为积分变量也可以。2例2(书中例2)计算由曲线y=2x和直线y=x−4所围成的图形的面积.解两曲线的交点y=x−42⎧y=2x⎨⎩y=x−42y=2x⇒,2(−2),4,8().选y为积分变量y∈[−]4,22⎛y⎞4dA=⎜y+4−⎟dyA=∫−dA=18.22⎝⎠32例3计算由曲线y=x−6x和y=x所围成的图形的面积.3y=x−6x解两曲线的交点2y=x3⎧y=x−6x⎨2⎩y=x⇒0,0(),(−4,2),9,3
8、().选x为积分变量x∈[−]3,2)1(x∈[−0,2],dA(x36xx2)dx=−−1)2(x∈3,0[],dA(x2x36x)dx=−+2于是所求面积A=A+A12033223A=∫(x−6x−x)dx+∫(x−x+6x)dx−20253=.12b实际上，A=∫f(x)−g(x)dxad或A=∫ϕ(y)−ψ(y)dyc⎧x=ϕ(t)如果曲边梯形的曲边为参数方程⎨⎩y=ψ(t)t2曲边梯形的面积A=∫ψ(t)ϕ′(t)d
