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《微积分（上） 课后习题答案解析试卷 4-7》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.7定积分的物理应用1.变力沿直线所作的功由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为W=F⋅s.如果物体在运动的过程中所受的力方向不变而大小是变化的，或者距离是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.例1把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方，那么电场q对它的作用力的大小为F=k（k是常数），当2r这个单位正电荷在电场中从r=a
2、处沿r轴移动到r=b处时，计算电场力F对它所作的功．+q+1••••••••oarbr+q+1解取r为积分变量，•oarr+drbrr∈[a,b],kq取任一小区间[r,r+dr],功微元dw=dr,2rbbkq⎡1⎤⎛11⎞所求功为w=∫a2dr=kq⎢−⎥=kq⎜−⎟.r⎣r⎦a⎝ab⎠如果要考虑将单位正电荷移到无穷远处+∞+∞kq⎡1⎤kqw=∫2dr=kq−=.ar⎢r⎥a⎣⎦a例2一圆柱形蓄水池高为h米，底半径为r米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？点击图片任意处播放暂停解建立坐标系如图or3x水的密度为ρ=1000千克米x+dx取x为积分
3、变量，x∈,0[h]h取任一小区间[x,x+dx],xor这一薄层水的重力为x2ρgπrdxx+dxh2功微元为dw=x⋅ρgπrdxxh2w=∫ρgπrxdx0h22⎡x⎤122=ρgπr⎢⎥=ρgπrh⎣2⎦0222=500gπrh(J)．例3用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？解设前n次锤击所作的总功为wn设前n次击入的总深度为h(n)厘米由题意:木板对铁钉的阻力为f(x)=kx,则dw=f(x)dx=kxdx1k第一次锤击时所作的功为w=∫
4、kxdx=,102h(n)k2前n次锤击所作总功为wn=∫0kxdx=h(n)2依题意知，每次锤击所作的功相等．2w=nwkhkn1⇒=n⋅,22n次击入的总深度为h(n)=n,第n次击入的深度为h(n)−h(n−)1=n−n−12.液体的侧压力很多实际问题要求计算液体作用于一物体表面上的侧压力，例如：水对坝或闸门的压力。当压强为常数时，压力=压强×面积.由物理学知道，深为h处液体的压强为p=gρh，这里ρ是液体的密度．如果有一面积为A的平板水平地放置在液体深为h处，那么，平板一侧所受的压力为F=p⋅A．如果平板垂直放置在液体中，由于深度不同的点处压强p不相等，平板一侧
5、所受的压力就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想．例4一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的密度为ρ，计算桶的一端面上所受的压力．解在端面建立坐标系如图取x为积分变量，x∈,0[R]取任一小区间[x,x+dx]o小矩形片上各处的压强近x似相等p=ρgxx+dx22小矩形片的面积为2R−xdx.x22小矩形片的压力微元为dF=2ρgxR−xdx端面上所受的压力R22F=∫2ρgxR−xdx0R2222=−ρg∫R−xd(R−x)0R⎡23⎤2ρg3=−(2−2)=Rρg⎢Rx⎥3.⎣3⎦0例5将直角边各为a及2a的直角三角形薄板垂直地浸入水中，
6、斜边朝下，边长为2a的直角边与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力．解建立坐标系如图2a已知点0(，2a),(a,0)o2a∴直线方程为y=−(2x−a)a面积微元(2a−x)dx,dF=ρg(x+2a)⋅(2a−x)dxxa7F=2g(x+2a)(a−x)dx3∫ρ=ρga03例6(书中例3)有一半径为R（单位为m）的圆形水闸门垂直立于水中，水面与闸顶同样高，求闸门所受侧压力。o解：如图建立坐标系，在[−R,R]上任xx+dx取子区间[x,x+dx]，与之对应的水层对闸门的压力为dF=p⋅
7、2y
8、dx，x由物理学知p=ρgh,其中h为水深,
9、压强随水深变化,在上述坐标系下，水深为R+x得22dF=ρg(R+x)⋅
10、2y
11、dx=2ρg(R+x)R−xdxR22得侧压力F=∫2ρg(R+x)R−xdx−RRR2222=2ρgR∫−R−xdx+2ρg∫−xR−xdxRR12=2ρgR⋅πR+0（由定积分的几何意义和性质）23=ρgπR对于水有ρ=1000(千克/米3)ρg=9800(牛顿)建立坐标系的原则：将中心或特殊点（比如：端点）置于原点3.引力由物理学知道，质量分别为m,m相距为r的两12mm12个质点间的引力的大小为F=k，其中k为引2r力系数，引力的方向沿着两质点的连线方
