微积分（上） 课后习题答案解析试卷 5-3-可降阶的高阶方程

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1、《微积分A》习题解答习题5.3(P301)1.求解下列方程.2(1)1(+x)y′′=12dPdx解：令y′=P(x)，则y′′=P′(x)，代入方程得1(+x)=1，dP=，dx21+xP=arctanx+C1，即y′=arctanx+C1，12所以y=xarctanx−ln(1+x)+C1x+C22(2)yx′′=y′dPdPdx解：令y′=P(x)，则y′′=P′(x)，代入方程得x=P，=，P=C0x，即dxPx21y′=C0x，所以y=C1x+C2，其中C1=C02(3)yx′′+3y′=0dP3解：令y′=P(x)，则y′′=P′(x)，代入方程得xP′+3P=

2、0，=−dx，PxC1C1C1C3lnP=−3lnx+lnC1，P=3，即y′=3，所以y=−2+C2=2+C2xx2xx2(4)2yy′′=1+y′dPdP22Pdy解：令y′=P(y)，则y′′=P，代入方程得2yP=1+P，所以dP=，dydy2y1+P22dyln(1+P)=lny+lnC1，1+P=C1y，即y′=±C1y−1，所以dx=，±C1y−1222两端积分得，x+C2=±C1y−1，即C1(x+C2)=(4C1y−)1C12(5)y′′+1−y′=02dP解：令y′=P(x)，则y′′=P′(x)，代入方程得P′+1−P=0，−=dx，21−P第5章常微

3、分方程第3节可降阶的高阶方程1/6《微积分A》习题解答arccosP=x+C1，P=cos(x+C1)，即y′=cos(x+C1)，所以y=sin(x+C1)+C2(注：本题既不显含自变量x，也不显含未知函数y，但若令y′=P(y)，解方程过程很繁)⎧(x2+)1y′′=2yx′(6)⎨⎩y)0(=,1y′0()=32dP2x解：令y′=P(x)，则y′′=P′，代入方程得(x+)1P′=2xP，所以=dx，P21+x222lnP=ln(1+x)+lnC1，P=C11(+x)，即y′=C11(+x)，所以2C13y=∫C11(+x)dx=C1x+x+C2，由初始条件得C1=

4、3，C2=1，所以此微分33方程的解为y=x+3x+1⎧yy′′+y′2=0⎪(7)⎨1y)0(=1y′()0=⎪⎩2dPdP2解：法1：令y′=P(y)，则y′′=P，代入方程得yP+P=0，得P=0（不合dydydPdPdy−1C1题意，舍去），y+P=0，=−，lnP=lny+lnC1，P=，由初始条dyPyy1C11dy12件得=，得C1=，即=，2ydy=dx，所以y=x+C2，由初始条件得212dx2y2C2=1，所以y=x+1，由初始条件知所求特解为y=x+1法2：原方程可化为(yy)′′=0，两端积分得：yy′=C，后面与解法1同。1⎧y3y′′+1=0(8

5、)⎨⎩y)1(=1y′)1(=0dP3dP−3解：令y′=P(y)，则y′′=P，代入方程得yP−+1=0，PdP=−ydy，dydy21∴P=2+C1，由初始条件y)1(=,1y′)1(=0有0=1+C1，所以C1=−1，即y第5章常微分方程第3节可降阶的高阶方程2/6《微积分A》习题解答22111−yyy′=−1，y′=±−1=±，所以±dy=dx，y2y2y21−y222两端积分得±1−y=x+C2，或1−y=(x+C2)。由初始条件y)1(=,1得222C2=−1，所以满足初始条件得特解为1−y=(x−)1，或y=2x−x⎧y′′−2y′2=0(9)⎨⎩y)0(=0

6、y′)0(=−1dPdP2解：法1令y′=P(y)，则y′′=P，代入方程得P−2P=0，得P=0（不合题dydydPdP2y意，舍去），−2P=0，=2dy，lnP=2y+lnC1，P=C1e，由初始条件得dyP−2y00−2yee−1=C1e，得C1=−1，即−edy=dx，=x+C2，由初始条件得=0+C2，221−2y1得C2=，所以e=2x+1，即满足初始条件得特解为y=−ln(2x+)122dP2dP法2令y′=P(x)，则y′′=P′(x)，代入方程得−2P=0，−=−2dx，dx2P111=−2x+C1，由初始条件得=0+C1，得C1=−1，P=−，即P−1

7、2x+11111y′=−，所以y=−ln(2x+)1−lnC2，y=−lnC22(x+)1，由初始条件2x+122211得0=−lnC2，C2=1，即满足初始条件得特解为y=−ln(2x+)1222.求方程y′′=x+sinx的一条积分曲线，使其与直线y=x在原点相切.解：直线y=x在原点处有y)0(=,0y′)0(=1，由题意知本题是要求下列初值问题y′′=x+sinx2⎧x⎨，对方程y′′=x+sinx连续两次积分：y′=−cosx+C1，由⎩y)0(=,0y′()0=123xy′)0(=1得C1=2，再积分y