微积分（上） 课后习题答案解析试卷 2-1导数概念

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1、《微积分A》习题解答习题2.1(P90)1．有一质量分布不均匀的细杆AB，长10cm，AM段质量与从A到点M的距离平方成正比，并且已知一段AM=2cm的质量等于8g，试求(1)AM=2cm一段上的平均线密度.(2)全杆的平均线密度.(3)在AM等于4cm的点M处的线密度.(4)在任意点M处的线密度.解：(1)AM=2cm一段上的平均线密度为8g2/cm=4g/cm；(2)设AM段质量为m，A到点M的距离为x，22由题意得：m=kx，当x=2时，m=8，得k=2，即m=2x所以当x=10时，得m=200，故全杆的平均线密度为200g/10cm=20g/cm

2、(3)在x=4处给以增量Δx，则在区间段[4,4+Δx]的质量为22[2]Δm=4(2+Δx)−2⋅4=2(8Δx)+(Δx)Δm故在AM等于4cm的点M处的线密度为lim=lim2[]8+(Δx)=16(g/cm)Δx→0ΔxΔx→0(4)在任意点x处给以增量Δx，则在区间段[x,x+Δx]的质量为22[2]Δm=(2x+Δx)−2⋅x=22x⋅(Δx)+(Δx)Δm故在任意点M处的线密度为lim=lim2[]2x+(Δx)=4x(g/cm)Δx→0ΔxΔx→0122．若质点运动规律为s=vt−gt，求2(1)在t=1，t=1+Δt之间的平均速度（Δt

3、=,5.0,1.0.005,.001）.0(2)在t=1时，质点的瞬时速度.0解：(1)在t=1，t=1+Δt之间的平均速度（Δt=,5.0,1.0.005,.001）分别为0⎡12⎤⎡12⎤⎢v1(+)5.0−g1(+)5.0⎥−⎢v⋅1−g⋅1⎥⎣2⎦⎣2⎦=v−.125g5.0第2章导数与微分第1节导数的概念1/9《微积分A》习题解答⎡12⎤⎡12⎤⎢v1(+)1.0−g1(+)1.0⎥−⎢v⋅1−g⋅1⎥⎣2⎦⎣2⎦=v−.105g1.0⎡12⎤⎡12⎤v1(+.005)−g1(+.005)−v⋅1−g⋅1⎢⎥⎢⎥⎣2⎦⎣2⎦=v−.1025g.

4、005⎡12⎤⎡12⎤⎢v1(+.001)−g1(+.001)⎥−⎢v⋅1−g⋅1⎥⎣2⎦⎣2⎦=v−.1005g.001(2)在t=1处给以增量Δt，则在t=1，t=1+Δt之间的平均速度为00⎡12⎤⎡12⎤⎢v1(+Δt)−g1(+Δt)⎥−⎢v⋅1−g⋅1⎥⎣2⎦⎣2⎦1=v−g−gΔtΔt2⎡1⎤故在t=1时，质点的瞬时速度为limv−g−gΔt=v−g0⎢⎥Δt→0⎣2⎦3．利用导数定义，求下列函数在指定点x处的导数.01(1)f(x)=，x=120x1−12Δyf1(+Δx)−f)1(1(+Δx)Δx−2解：lim=lim=lim=lim=

5、−2Δx→0ΔxΔx→0ΔxΔx→0ΔxΔx→01(+Δx)21(2)f(x)=，x=40x11−Δyf4(+Δx)−f)4(4+Δx22−4+Δx解：lim=lim=lim=limΔx→0ΔxΔx→0ΔxΔx→0ΔxΔx→02⋅Δx⋅4+Δx−11=lim=−Δx→024+Δx⋅2(+4+Δx)16(3)f(x)=xx，x=00第2章导数与微分第1节导数的概念2/9《微积分A》习题解答Δyf0(+Δx)−f)0(ΔxΔx−0解：lim=lim=lim=limΔx=0Δx→0ΔxΔx→0ΔxΔx→0ΔxΔx→0π(4)f(x)=cosx，x=04ππππ

6、f(+Δx)−f()cos(+Δx)−cos()Δy4444解：lim=lim=limΔx→0ΔxΔx→0ΔxΔx→0ΔxπΔxΔxΔxsin(+)⋅sin()sin()422πΔx22=−2lim=−limsin(+)⋅lim=−Δx→0ΔxΔx→042Δx→0Δx224．利用定义求下列函数的导数.(1)y=sin2xΔysin(2x+Δx)−sin2x2sinΔx⋅cos(2x+Δx)解：lim=lim=lim=2cos2xΔx→0ΔxΔx→0ΔxΔx→0Δxax(2)y=ea(x+Δx)axaxaΔx无穷小axΔye−ee(e−)1e⋅aΔxax解

7、：lim=lim=limlim=aeΔx→0ΔxΔx→0ΔxΔx→0Δx替换Δx→0Δx5.求下列分段函数在分段点处的左、右导数，并指出函数在该点的可导性.⎧xx≥0(1)y=⎨2⎩xx<02f(x)−f)0(x−0解：f′)0(=lim=lim=0−−−x→0x−0x→0x−0f(x)−f)0(x−0xf′)0(=lim=lim=lim=1++++x→0x−0x→0x−0x→0xf′)0(≠f′)0(，故函数在点x=0处不可导。−+⎧xx<0(2)y=⎨⎩ln(1+x)x≥0第2章导数与微分第1节导数的概念3/9《微积分A》习题解答f(x)−f)0(x

8、−0解：f′)0(=lim=lim=1−−−x→0x−0x→0x−0f(x)−f