隐函数及参数方程的的导数解析.ppt

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1、第五节隐函数和由参数方程确定的函数的求导法则一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数由方程F(xy)0所确的函数称为隐函数把隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化例如方程xy310确定的隐函数为显函数与隐函数:形如yf(x)的函数称为显函数例如:ysinxylnxex都是显函数问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导,然后从所得的新方程中把隐函数的导数解出.例1求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数(ey)(xy)(e)(0)即

2、:eyyy+xy0解:解:例2把椭圆方程的两边分别对x求导得所求的切线方程为解:上式两边再对x求导得的二阶导数例3方程两边对x求导得二、对数求导法对数求导法主要适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数此方法是先在yf(x)的两边取对数然后用隐函数求导法求出y的导数例4求yxsinx(x>0)的导数说明:幂指函数的导数也可按下法求得:解:两边对x求导,得两边取对数得lnysinxlnxyxsinxesinx·lnx例5证明y=xa的求导公式(a为任意实数):证明:在y=xa两边取对数得再两边求导得

3、上式两边对x求导得说明严格来说本题应分x4x12x3三种情况讨论但结果都是一样的例6先在两边取对数得解:三、由参数方程确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得若上述参数方程中二阶可导,且则由参数方程确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得例7由方程确定了函数求解:方程组两边对t求导,得故例8抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t运动速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设为切线倾角,则在刚射出(即t=0)时,

4、倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离于是所求的切线方程为例9求曲线在处的切线方程.解:曲线上对应的点为(0,0).曲线在处的切线斜率为例10解:所确定的二阶导数.练习题1.求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y

5、x0因为当x0时从原方程得y0所以5y4y2y121x60把方程两边分别对x求导数得解法一:5y4y2y121x60把方程两边分别对x求导数得解法二:2y10根据原方程当x0时y0将其代入上述方程得从而y

6、x0052.解:所求切线方程为显

7、然过原点.