隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.ppt

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1、第四节隐函数及由参数方程所确定一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率的函数的导数相关变化率返回一、隐函数的导数1复习:函数的表示法1.直接表示:解析式y=f(x)x∈D,这样描述的函数称为显函数2间接表示(1)由一个方程F(x,y)=0所确定的函数例可确定函数,(2)由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程:t是参数方法(1)表示的函数称为隐函数.把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化.2隐函数的定义一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y值

2、存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数例1求由方程所确定的隐函数的导数解我们把方程两边分别对x求导数,注意y=y(x),方程左边对x求导得方程右边对x求导得所以从而注意:在这个结果中,分式中的y=y(x)是由方程所确定的隐函数例2求由方程所确定的隐函数x=0处的导数因为当x=0时,从原方程得y=0,所以解把方程两边分别对x求导,由于方程两边的导数相等,由此得所以例3求椭圆在点处的切线方程(图2-6)解由导数的几何意义知道,所求切线的斜率为椭圆方程的两边分别对x求导,有从而当x=2时,代入上式得于是所求的切线方程为即例4求由方

3、程所确定的隐函数的二阶导数解应用隐函数的求导方法,得于是上式两边再对x求导,得上式右端分式中的y=y(x)是由方程所确定的隐函数3.对数求导法方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:下面通过例子来说明这种方法例5解等式两边取对数得一般地幂指函数也可表示成这样,便可直接求得例6求的导数两边对x求导于是解两边取对数(假定x>4),得当2

4、相应的点处的切线方程解当时,椭圆上的相应点的坐标是:曲线在点的切线斜率为:代入点斜式方程,即得椭圆在点处的切线方程化简后得例8已知抛射体的运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向解先求速度的大小由于速度的水平分量为铅直分量为所以抛射体运动速度的大小为在求速度的方向,也就是轨迹的切线方向设是切线的倾角,则根据导数的几何意义,得所以,在抛射体刚射出(即t=0)时,当时这时,运动方向是水平的,即抛物体达到最高点例9计算由摆线的参数方程所确定的函数y=y(x)的二阶导数解返回三、相关变化率相关变化率的定义:例10解仰角增加率即观察员视线

5、的仰角增加率是0.14rad/min返回