隐函数的导数及由参数方程所确定

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1、第三节隐函数的导数及由参数方程所确定一、隐函数的导数二、对数求导法三、相参数方程的求导法的函数的导数一、隐函数的导数1复习:函数的表示法(1)直接表示:解析式y=f(x)x∈D,这样描述的函数称为显函数(2)间接表示由一个方程F(x,y)=0所确定的函数例可确定函数,由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程:t是参数方法(1)表示的函数称为隐函数.把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化.2隐函数的定义一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程F(x,y)

2、=0在该区间内确定了一个隐函数隐函数的求导方法:(1)将方程F(x,y)=0两端对x求导,在求导过程中要记住y是x的函数;y的函数是x的复合函数.例1求由方程所确定的隐函数的导数解我们把方程两边分别对x求导数,注意y=y(x),方程左边对x求导得方程右边对x求导得所以从而注意:在这个结果中,分式中的y=y(x)是由方程所确定的隐函数例2求由方程所确定的隐函数x=0处的导数因为当x=0时,从原方程得y=0,所以解把方程两边分别对x求导,由于方程两边的导数相等,由此得所以例3求圆在点处的切线方程.解由导数的几何意义知道,所求切线的斜率为圆方程的两边分别对x

3、求导,有从而从而在处的切线率为于是所求的切线方程为即二、对数求导法方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:下面通过例子来说明这种方法例5解等式两边取对数得一般地幂指函数也可表示成这样,便可直接求得例6求的导数两边对x求导于是解两边取对数(假定x>4),得三、由参数方程所确定的函数的导数求导方法由复合函数及反函数的求导法则得例7已知椭圆的参数方程为求椭圆在相应的点处的切线方程解当时,椭圆上的相应点的坐标是:曲线在点的切线斜率为:代入点斜式方程,即得椭圆在点处的切线方程化简后得一、隐函数的导数二、对数

4、求导法三、相参数方程的求导法课堂小结课堂练习P-53