控制系统的数学模型之1

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1、本章基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。本章基本要求4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。在控制系统的分析和设计中首先要建立系统的数学模型。控制系统的数学模型：是描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式。1.建立

2、数学模型的意义(1)使我们得以暂时离开系统的物理特性，在一般意义下研究控制系统的普遍规律。(2)从定性的认识上升数学定量的精确认识(严谨的分析)。2.数学模型分类(1)按系统运动特性分为：静态数学模型和动态数学模型。在静态条件下(即变量各阶导数为零)，描述变量之间关系的代数方程叫——静态数学模型；描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。控制理论研究的是——动态模型。(2)按照建立数学模型的方法分为：机理建模/机理模型(白箱建模)统计建模/统计模型(黑箱或灰箱建模)(3)按照描述数学模型的工具分为：时域(TimeDomain,TD)模型--

3、---微分方程或差分方程描述的数学模型。优点：有效的数学分析工具多。复域/频域(FrequencyDomain,FD)模型----利用拉氏或傅立叶变换对时域模型变换后得到的模型。优点：可从工程上测试得到。(4)按照描述变量的不同分为：输入输出I/O模型-----描述系统输入量和输出量之间关系的数学模型。优点：模型简单，易于分析。缺点：系统内部其它变量之间的关系和运动规律没有建模。状态空间(StateSpace,SS)模型----描述系统输入量、输出量和状态量之间关系的数学模型。优点：描述系统所有变化规律。缺点：较复杂，矩阵分析理论等。3.建立控制系统

4、数学模型的方法解析法/分析法(又称机理建模法)实验法(又称系统辨识)解析法(白箱建模)-----依据系统及元件各变量之间所遵循的运动规律(物理、化学等)列写出变量间的数学表达式，并实验验证。优点：方程式中每个系数都具有其明确的物理意义。缺点：一般系统的运动规律很复杂，常常是非线性的，简化会导致模型精度降低(参数物理意义变含糊);通用性差。实验法/统计模型(黑箱或灰箱建模)----对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。优点：避免机理建模的困难，能以一定的精确度

5、描述原系统的变化情况，适合于系统控制与预测；通用性好。缺点：模型中的参数没有明确的物理意义。4.常用的数学模型数学模型时域复数域频域传结频微差状递率分分态构函特方方方数图性程程程5.建立数学模型的原则l兼顾模型的精确度(模型分析和设计的复杂度)和控制系统精度(与模型精确度密切相关)，两者之间的折中。常用手段：一定范围和前提条件下进行理想化的假设。u电子放大器可看成理想的线性放大环节，忽略掉它的非线性成份。(电子放大器的工作范围不超出其线性区)u通信卫星(轨道控制)可以看成一个质点来建模，而不考虑其形状和质量分布。在卫星的姿态控制中则不行！要考虑其天线

6、和太阳能帆板的柔性体特性。非线性,时变,分布参数线性,定常,集中参数6.时域模型的数学建模的通常步骤(1)建立物理模型要作一些理想化的假设。(2)列写原始方程物理定律:牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。(3)选定系统的输入量、输出量以及状态变量（仅在建立SS模型时要求），消去中间变量，建立适当的I/O模型或SS模型。[解]：根据基尔霍夫电路定理：di1LRiidtu①idtC1②uidtoCdu由②：iCo，dt2dudu代入①得：LCoRCouu2oidtdt[解]图中，m为质量，f为粘滞阻尼系数，k为弹性系数

7、。其次依据：1.牛顿第二定律:物体所受的外力和等于物体质量与加速度的乘积。2.虎克定律:弹簧弹力等于弹性系数与相对变形位移的乘积。3.粘性摩擦定律:粘性摩擦力等于摩擦系数与相对速度的乘积。解：以静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响，受力如下图所示：F(t)Kx(t)K—弹性系数2dx(t)F(t)ff—阻尼系数1dt根据牛顿定理，平衡方程如下：2dxdxmFfkx2dtdt2dxdxmfkxF2dtdt也是一个二阶定常微分方程。m、f和k的单位分别为：kg、Ns/m、N/m对比两式：2duoduoqidtLCRCu

8、udt2dtoi令22dqdq1dxdxL2Rquim2fkxFdtdtCdtdt相似系统系统仿