控制系统的数学模型之

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1、控制系统的结构图是描述系统各组成元部件之间信号传递关系的数学图形，它表示系统中各变量所进行的数学运算和输入、输出之间的因果关系。采用结构图，不仅能方便地求取复杂系统的传递函数，而且能形象直观地表明信号在系统或元件中的传递过程。把各环节或元件的传递函数填在系统原理方块图的方块中，并把相应的输入、输出信号分别以拉氏变换来表示，就可以得到传递函数方块图，这种图形既说明了信号之间的数学物理关系，又描述了系统的动态结构，因此称之为系统的动态结构图，简称为结构图。Ø动态结构图的组成:①信号线：表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号

2、传递的方向。线上标注信号所对应的变量，信号传递具有单向性。②方框：G(s)表示对信号进行的数学变换。方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数G(s)。方框的输出信号等于方框的输入信号与方框中G(s)的乘积。③比较点：!注意量纲比较点亦称综合点/加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。U(s)④引出点：U(s)表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。Ø绘制动态结构图的一般步骤:1.列写出系统各元件的微分方

3、程。在建立方程时应分清各元件的输入量、输出量，同时应考虑相邻元部件之间是否有负载效应。2.在零初始条件下，对各微分方程进行拉氏变换，并将变换式写成标准形式。3.由标准变换式利用结构图的四个基本单元，分别画出各元部件的结构图。4.按照系统中信号的传递顺序，依次将各元部件的结构图连接起来，便可得到系统的结构图。Ø以RC电路为例:R以电设流一作R为C电路如U图r(s):+1I(s)+初输始出微：分ur=Ri+uc-Ri引出点综合点dUuc(s)1urCuc方程组cci=CS取拉氏变换：方d框t-信号线-系U统(s动)=态R结

4、I(s构)+图U由(s四)种基本U符r(s号)–构U成c(s：)=I(s)rcR1系I(s统)=动C态SU结c(构s)图将各变量U之c(间s)=的I数(s)学·C关S系用结构图表示U出r(s来)，将结1构I图(s)简1化，Uc可(s)方便地求出-RCSI(s)1Uc(s)表组任示合意为两：变量之间的U传c(s)递函数。CSØ方框图的性质：（1）方框图是从实际系统抽象出来的数学模型，不代表实际的物理结构，不明显表示系统的主能源。系统本身有的反映能源有的不反映能源，如有源网络和无源网络等，但从方框图上一般不明显表示出来。（

5、2）能更直观更形象地表示系统中各环节的功能和相互关系，以及信号的流向和每个环节对系统性能的影响。更直观、更形象是针对系统的微分方程而言的。（3）方框图的流向是单向不可逆的，也没有负载效应（4）方框图是从传递函数的基础上得出来的，所以仍是数学模型，不代表物理结构。（5）线性叠加性：u多个输入同时作用的结果等于各个输入单独作用得到的结果之和；u输入增加多少倍，输出也相应的增加同样的倍数。（6）方框图不唯一。由于研究角度不一样，传递函数列写出来就不一样，方框图也就不一样。c例4-1如图RC网络。i2++iR1i1解：第一种方

6、法：urR2uc--uuurcR1uUR1(s)Ur(s)Uc(s)iR111I(s)U(s)R11R1duR1R1I(s)CsU(s)i2C2R1dtiiiI(s)I1(s)I2(s)12uiR(ii)RUc(s)R2I(s)c2122I(s)CSU(s)U(s)U(s)U(s)2R1R1rcI(s)I(s)I(s)112I(s)U(s)1R1RU(s)RI(s)1c2I2(s)CSUr(s)+I(s)Uc(s)_R2+1U(s)R

7、1I1(s)cci2++RC电路动态iR1i1urR2uc结构图：--第二种方法：URUrUcI2CsUR1R1CsI111II1I2I1URR1UcR2I1Ur(s)I1(s)+I(s)Uc(s)1R2_R1+R1CsI2(s)Uc(s)可见：一个系统或元件的结构图不是唯一的。R1R2解：绘出网络对应的复频域图，可得：i1ici2uiCuC2uo11方程1I1(s)[Ui(s)U(s)]R1I(s)c方程2Ic(s)I1(s)I2(s)方程3U(s)Cs11I(s)I(

8、s)[U(s)U(s)]2U(s)方程42o方程5oRCs22Ui(s)1I1(s)I2(s)IC(s)1U(s)U(s)1I2(s)(-)R1I1(s)(-)IC(s)C1sR(-)2U(s)Uo(s)(1)(2)方程2(3)方程4(4)方程1I2(s)1Uo(s)Ui(s)1I1(s)(-)1U(s)11Uo(s)C2s