控制系统数学模型的建立

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1、要求:列出叫(r)与坷(r)的关系芳程式+o(]zmnrx<)+(1)(2)(3)根据克希霍夫定律可写出原始方程亍L—+Ri+—[idt=,&C1式中I是中间变量，它与输出％⑵有如下关系消去中间变量I后，得输入输出微分方程式//(，)+RC也戦性定常二阶微分方程式&2&L—7”血(f)如②或琨—^2+鸟¥+哄)=讥)(Xdtk式中T=LR巧=RC为该电路的两个时间暫数第2章控制系统数学模型的建立控制系统数学模型的有效性直接关系到对系统性能的分析结果，所以建立合理的、有效的数学模型是控制系统分析中首先要解决的问题。本章将

2、对控制系统数学模型的建立、传递函数的概念、结构图和信号流图的建立及化简等内容加以论述。2.1概述数学模型：描述系统各变量Z间关系的数学表达式。动态模型：描述系统动态过程的方程式称为动态模型。如微分方程、偏微分方程、差分方程筹。建立系统数学模型的途径：理论推导法(演绎法)——通过系统木身机理(物理、化学规律)分析确定模型结构和参数，推导出系统的数学模型。实验测试法(归纳法)——根据对系统的观察，由测量得到的人呈输入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。建立系统数学模型时，应注意：(1)根据研究目的和精确性要求，忽略-•些

3、次要因素，使系统数学模型简化，便于数学上的处理。(2)根据所采用的分析方法，建立相应形式的数学模世(微分方程、传递函数等)，有时还要考虑便于计算机求解。2.2控制系统微分方程的建立建立系统(或部件)微分方程式的一般步骤：(1)确定输入变量和输岀变量；(2)根据物理或化学定律，列出系统(或元件)的原始方程式；(3)找出中间变量与其它因素的关系式；(4)消去中间变量，得到输入输出关系方程式；(5)若所求输入输出关系为非线性方程，则需进行线性化；(6)标准化。将输入项及各阶导数放到方程的右边，将输出项及各阶导数放到方程的左边，

4、然后按降幕的顺序排列。举例1R-L-C电路严卫)上式中冇，则有，二“；di=Cd3u/d(t);di/dt=Cd2u/d2(t)举例2弹簧一质量一阻尼器系统要求：写出系统在外力<⑵作用下的运动方程式

5、）輸入控制量一电枢电压叫，扰动一负载转矩同变化转出（被控量〉J―轴角位移0,或角速度0,b±+Rja+瓦3=叽根据刚体旋转定律，写出运动方秸/乜+坯AtLd（2）是中间变量。由于电动机转矩与电枢电流和气隙磁通的衆就成正比，现在磁通恒定，所以有Md=联立求解，整理后得""山R空处*空敗+”丄丄丄竺护&匚匚JKg&T七—电动机电枢回路时间常数，一般比為小，（秒）若输出为电动机的转角则有<1）激磁回路方程式uf=Rfjf+手设电枢电流孑常数，气隙磁通少（r）=激磁回路电感L尸常数.（2）设电动机转矩越是用来克服系统的惯性和负载

6、的阻尼摩擦的，因此有八畑口”J——+Ba）=Md今J屈y弓B护或举例5热力系统输入量，控制参数驭干扰佻和Q输出量匕氐丄三‘按能量守恒定律可写出热流量平衡方程鼻=%+化_化_化<2）找出中间变量纶讐%=叶QO貝6二勺尹<3>将以上各式代入热平衡方程^~^~+95+右咼=呦+95+舟）勺或厂学+（0CK+1）&=R^+（QCR+）^曲阶非线性微分方程式当出水流量0—定，环境温度和进水温度比也为常值时，系统为一阶线性定常微分方程T讐+缺异+1）升屜

7、举例6流体过程输入量—q,输出量—h根据物质守恒定律,（1）设流体是不可压缩

8、的,可得；_,dhS矿心（2）求出中间变量4/与其它变量的关系。由于通过节流阀的流体是紊流，按流量公式可每=a4h（3）消去中间变量么得S生+°血=$阶非线性微分方程式（3〉消去中间变里Md®=2.2.27匸线性微分方程的线性化■增量化数学模型：将输入输出参数都用增量来表示的数学模型。例如热力系统数模珀dg—口口—口衫。(QCp/?4-1)=R(p.+(QCpR+l)0.设Q二常量$静态时：曾、您都不变，并等于额定值，则兔就等于给定值。从普=0(X输入与输出关系式为:(07謬+1)為=丘岛+(0C畀+1)臨一平衡状态其中

9、，g=+==go+Ag(接上页)(1)单变量非线性方程尸处力的线性化将非线性函数y=f(.)在平衡点P(xo.yo)附近展开成泰勒级数，即r八y=Oo)+fOCo)0_Xo)+丿2,丿(兀_忑尸+…在平衡点二兀・/x-x0=Ax・•・"凡+广(X。)&+莒切&2+…乙・忽略二次以上高阶无穷小Aj.=fx0)Ar(接