控制系统的数学模型

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1、系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各个变量之间关系的数学表达式。描述各变量动态关系的表达式称为动态数学模型。常用的数学模型为微分方程。第二章控制系统的数学模型建立系统数学模型的方法，一般采用解析法和实验法。所谓解析法，即依据系统及元部件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并经实验验证，从而建立系统的数学模型。实验法是对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。微分方程传递函数频率特性控制系统微分方程的建立首先必须了解系统的组成、工作原理，然后根据支配各组成元件的物

2、理定律，列写整个系统输入变量与输出变量之间的动态关系式，即微分方程。列写微分方程的一般步骤：①分析系统和各个元件的工作原理，找出各物理量（变量）之间的关系，确定系统和各元件的输入、输出变量。②从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写动态关系式，一般为一个微分方程组。③对已建立的原始方程进行处理，忽略次要因素，简化原始方程，如对原始方程进行线性化等。④消除中间变量，写出关于输入、输出变量之间关系的数学表达式，即微分方程。根据电路理论中的基尔霍夫定理，建立RC无源网络的微分方程。输入量为电压ur(t),输出量为电压uc(t)i(t)为流经电阻R和电容C

3、的电流，消去中间变量i(t)，可得令RC=T，则上式又可写为式中：T称为无源网络的时间常数,单位为秒(s)一般情况下把输出变量写在等式的左边,输入变量写在等式的右边。2.1拉氏变换拉普拉斯变换简称为拉氏变换，它是一种函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系统的一个重要数学工具,它可以把时域中的微分方程变换成复域中的代数方程，从而使微分方程的求解大为简化。同时还引出了传递函数、频率特性等概念。用拉氏变换解微分方程示意图一、拉氏变换的定义和存在定理1.定义设函数f(t)在t≥0时有定义，如果线性积分存在，则由此积分所确定的函数可写为F(s)称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原

4、函数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换，记作称其为函数f(t)的拉普拉斯变换，并记作2.拉普拉斯变换的存在定理若函数f(t)满足下列条件：在t≥0的任一区间上分段连续。在t充分大后满足不等式

5、f(t)

6、≤Mect，其中M、c都是实常数。则f(t)的拉氏变换在平面上Re(s)>c一定存在，此时右端的积分绝对而且一定收敛，并且在这半平面内F(s)为解析函数。二、几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数1(t)数学表达式为其拉氏变换为2.单位斜坡函数数学表达式为其拉氏变换为3.等加速函数数学表达式为其拉氏变换为4.指数函数e-at数学表达式为其拉氏变换为5.正弦函数sint正弦函数定义

7、为其拉氏变换为6.单位脉冲函数(函数)函数的表达式为其拉氏变换为三、拉氏变换的基本法则1.线性法则设F1=L[f1(t)]，F2=L[f2(t)]，a和b为常数，则有2.微分法则设F=L[f(t)]，则有式中：f(0),f(0),…,f(n-1)(0)为f(t)及其各阶导数在t=0处的值。3.积分法则设F(s)=L[f(t)]，f(0)=0，则有4.终值定理若F(s)=L[f(t)]，且当t时，f(t)存在一个确定的值，则其终值该式为求系统的稳态误差（即t）提供了方便。5.位移定理设F(s)=L[f(t)]，则有及分别称为时域中的位移定理和复域中的位移定理。四、拉氏反变

8、换拉氏反变换的定义如下一般由F(s)求f(t)，常用部分分式法。首先将F(s)分解成一些简单的有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数f(t)。F(s)通常是s的有理分式函数，即分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，F(s)的一般式为式中a1、a2、…、an及b1、b2、…、bm为实数，m、n为正数，且m

9、氏变换，将微分方程变为以象函数为变量的代数方程，方程中初始条件是t=0-时的值。②解代数方程，求出象函数的表达式。③用部分分式法进行反变换，求得微分方程的解。例用拉氏变换求解微分方程。解：对微分方程两端进行拉氏变换代入初始条件，求出象函数X(s)的表达式将X(s)展成部分分式，利用拉氏变换对照表，求出x(t)。2.2传递函数一、传递函数的概念及定义无源RC网络的微分方程为设初始值uc(0)=0，对上式取拉氏变换,得令则传递函数传递函数的定义：线性定常系统在