控制系统的数学模型 第二章 控制系统的数学模型

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1、第二章控制系统的数学模型2.1引言2.2线性系统的数学模型2.3线性系统的传递函数2.4控制系统的结构图2.5信号流图与梅森公式1.数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。2.1引言2.建模方法：3.常用数学模型微分方程（或差分方程）传递函数（或结构图）频率特性状态空间表达式（或状态模型）（现代控制理论课程 ）解析法（理论推倒法）实验法（实验辨识法）4.由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解观察线性微分方程性能指标传递函数时间响应频率响应拉氏变换拉氏反变换估算估算计算

2、傅氏变换S=jω频率特性2.2线性系统的数学模型能用线性微分方程描述其输入输出关系的系统为线性系统。大多数控制系统在一定的限制条件下，用线性微分方程来描述。线性系统的研究具有重要的实用价值。本节要点：用微分方程的方法建立系统数学模型，其实质是根据系统内部机理建模，并由此了解常用数学模型的特点。1）确定系统的输入、输出变量；2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；3）联立方程，消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程；4）将系统方程变换成标准形式。微分方

3、程的列写步骤：2.2.1电路系统例2.1列写R-L-C电路的微分方程。（忽略输出端负载效应）RLCi(t)ur(t)uc(t)解:消去中间变量i(t)，系统的微分方程为，线性定常二阶微分方程令，方程整理成标准形式例2.3弹簧—质量—阻尼器系统，求质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。y(t)FkfmFf为阻尼器的阻尼力,Fk为弹簧的弹性力，Fm为质量的质量力，可表示为代入式（2-1）整理得线性定常二阶微分方程解:输入量，输出量为位移y(t)，由牛顿定律得力平衡方式（2-1）2.2.2机械系统

4、基本元件是质量、弹簧和阻尼器，基本定律是牛顿运动定律和力矩平衡定律。2.2.3其他系统机电、热工和化工对象等系统都可以通过物理、化学机理建立数学模型。解：为输入量，电机转速为输出电磁力矩---安培定律电枢反电势---楞次定律电枢回路：---基尔霍夫力矩平衡：---牛顿定律（空载）消去中间变量i,M,E，得：反电势系数电动机转矩系数Ｊ转动惯量例2.4电枢控制直流电动机系统，求数学模型。ＭRLＵiSMω若电感L很小，可以忽略，简化为一阶微分方程，若电阻R和惯量J都很小，又简化为转速和电枢电压成正比。电

5、动机作为测速发电机使用线性二阶微分方程电磁时间常数机电时间常数静态增益,令得操纵手柄W1θrθc负载W2urucuε放大器电机减速器测速电机uutuaθm+_+_θrθrθcθcθmSMTGJLfLW1W2EuεutuuaRaLaifZ1Z2放大器位置随动系统原理图位置随动系统结构图绘制3)1)2)4)5)6)7)8)操纵手柄W1θrθc负载W2urucuε放大器电机减速器测速电机uutuaθm电动机输出转角线性系统输入量与输出量之间的数学表达式可以用一个线性常系数微分方程表述，具有以下特点：物理

6、、化学过程不同的系统，但数学模型的推导过程和建立的数学模型却很相似。微分方程的阶次与系统中储能元件的个数和要求的精度有关，方程中的系数是与系统的结构和参数有关,具有一定的物理意义。上述系统是按线性系统理论建立的微分方程,为线性系统或非本质非线性系统。本质非线性在第八章中介绍。说明2.2.4线性系统微分方程的通用形式输出信号、输入信号的最高求导次数线性定常系统微分方程的一般形式系统输入量系统输出量系统若为常系数，上式描述的系统为定常系统若为时间的函数（或其中之一），为线性时变系统，…，，，，，…，其

7、中除上式两边，得标准形式为T1、T2、…，Tn为时间常数，反映惯性的大小K0为传递系数（或静态放大系数）微分方程:1）描述时间域系统动态性能的数学模型，2）系统参数、结构变化，必须重新求微分方程，3）分析和设计系统不够方便。传递函数：1）复数域输入输出关系的数学模型，2）仅用于线性定常系统，也表征系统的动态特性，3）当系统参数、结构变化时，不必重新建立数学模型。传递函数是经典控制理论中最基本、最重要的概念。2.3线性系统的传递函数2.3.1传递函数的定义系统零初始条件时，线性定常系统输出量拉氏变换

8、与输入量拉氏变换的比。传递函数的标准形式微分方程一般形式：拉氏变换：⑴首1标准型：⑵尾1标准型：传递函数：定义：(1)输入ur(t)(2)初始条件(3)系统的结构参数——一般规定r(t)=1(t)——规定0初始条件——自身特性决定系统性能影响系统响应的因素传递函数的性质1)G(s)是复变量s的有理真分式函数，且n>m；2)G(s)只与系统自身的结构参数有关,与输入信号无关；3)G(s)与系统微分方程直接关联，置换即可；4)G(s)的拉氏反变换是系统的脉冲响应，即G(s)=L[g(t