控制系统的数学模型

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1、第二章控制系统的数学模型2.1数学模型基础2.2线性系统的微分方程2.3线性系统的传递函数2.4系统的结构图2.5信号流图及梅逊公式End本章作业1.定义：数学模型(mathematicalmodel)是指出系统内部物理量（或变量）之间动态关系的表达式。2.1数学模型基础2.52.建立数学模型的目的●建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内

2、在的共性运动规律。2.22.32.43.建模方法微分方程(differentialequation)（或差分difference方程）传递函数(transferfunction)（或结构图blockdiagram）频率特性(frequencycharacteristics)状态空间表达式（或状态模型statespacemodel）5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解观察线性微分方程性能指标传递函数时间响应频率响应拉氏变换拉氏反变换估算估算计算傅氏变换S=jω频率特性4.常用数学模型2.2.1微分方程的列写2.2线性系统的微分方程R1C

3、1i1(t)ur(t)uc(t)微分方程的列写步骤1）确定系统的输入、输出变量；2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；4）变换成标准形式。2.52.12.32.42.2.22.2.32.2.4动画演示试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。例2.1图为机械位移系统。RLCi(t)ur(t)uc(t)Fy(t)kfm例2.2如图RLC电路，试列写以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程。整理得:解:阻尼器的阻尼力:弹簧弹性力:解:返

4、回动画演示非线性(nonlinear)系统：用非线性微分方程描述。2.2.2微分方程的类型线性定常系统：用线性微分方程描述,微分方程的系数是常数。线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即：如果输入r1(t)—>输出y1(t)，输入r2(t)—>输出y2(t)则输入ar1(t)+br2(t)—>输出ay1(t)+by2(t)线性(linear)系统：用线性微分方程描述。线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间而变化的。2.2.12.2.32.2.42.2.3非线性元件微分方程的线性化小偏差线性化：用台劳级数展开，略去

5、二阶以上导数项。一、假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化，即x=x0+△x,y=y0+△y二、近似处理略去高阶无穷小项:严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。三、数学方法2.2.12.2.42.2.2求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。2.2.4线性定常微分方程的求解R1C1i1(t)ur(t)uc(t)例2.3已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求uc

6、(t)拉氏变换法求解步骤：1.考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；2.求出输出量拉氏变换函数的表达式；3.对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。解：零初始条件下取拉氏变换：2.2.12.2.32.2.2动画演示2.3.1传递函数的定义2.3传递函数线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数。2.52.12.42.22.3.22.3.32.3.4试列写网络传递函数Uc(s)/Ur(s).例2.4如图RLC电路，RLCi(t)ur(t

7、)uc(t)LsR1/sCI(s)Ur(s)Uc(s)1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子多项式的次数m低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数；2)传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关；3)传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换；4)传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。5)传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态特性；零初始条件含义要明确。参见解:1)零初始条件下取拉氏变换：传递函数：2)变换到复频域来求。传递函数的性质求零状态条件下阶跃响应uc(t)；2)uc(0)=0.1v，ur(t)=1

8、(t)，求uc(t);3）求脉冲响应g(t)。例2.5已知R1=1，C1=1F，1）对上式进行拉氏反变换：3）解:1）2）R1C1i1(t)ur(t)uc(t)传递