2-1控制系统的时域数学模型

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1、第一节时域数学模型—微分方程第二章控制系统的数学模型第一节控制系统的时域数学模型项目内容教学目的如何从实际的物理系统过渡到数学系统，理解物理系统、控制系统、数学系统三者的统一；如何建立控制系统的时域数学模型。教学重点如何建立控制系统的时域数学模型。教学难点及其处理关于数学模型的一些基本概念。从简单到复杂，逐步分层次讲解。数学模型的基本概念数学、工程、控制三者的统一中学时的函数概念：在电路的学习中对函数概念的理解：自动控制系统对函数概念的理解：研究对象的复杂程度加深一引言同样的x和y，在不同的课程学习中，思维方式发生了变化：中学时的函数是一个纯数学的

2、概念；在电路和控制系统中增加了人的因素。可以用数学的方法来解决工程中遇到的实际问题，可以通过机械工程控制基础课程把数学、机械工程、控制三者联系统一起来。学习机械工程控制基础的思维方式：数学的方法，机械工程的意识，控制的语言。数学模型的定义：能够描述控制系统输出量和输入量数量关系的表达形式。实际物理系统理想化物理模型数学化数学模型线性化线性数学模型无量纲化可用数学模型标准化标准数学模型按输入输出的表达形式数学模型的分类微分方程（时间域）传递函数（复数域）动态结构图（各元件传函的连接关系）响应曲线（step、pulse）频率特性（bode图、nyquis

3、t图、nichols图）状态变量形式分析法:是根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。对于系统结构已知的常用此法。试验法:对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。数学模型建立（建模）的方法无论是用分析法还是用实验法建立模型，都存在模型精度和复杂性之间的矛盾。即描述系统运动特性的数学模型越精确，则方程的阶次越高，对系统的分析与设计越困难。所以，在控制工程上总是在满足分析精度要求的前提下，尽量使数学模型简单，为此在建立数学模型时常做

4、许多假设和简化，最后得到的是有一定精度的近似模型。这点与其他课程不同。单输入单输出线性定常集中参数连续系统微分方程的一般形式为：式中，c(t)是输出量；r(t)是输入量。为了所表示系统的可实现性，一般限定。微分方程的一般形式二时域数学模型-微分方程建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量和输出量；2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列写原始方程式，构成微分方程组；3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及其各阶导数的微分方程；4、标准化。例1对下图RC无

5、源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。电气系统(1)由KVL，得又因为(2)消去中间变量i(t)(3)标准化解：例2对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。对L1，由KVL得对L2，由KVL得列出各元件的输入变量和输出变量的关系式R1：R2：C1：C2：解：或式中：提醒注意上题中如果把第一级电路的输出看作是第二级电路的输入，直接利用例1的结论，可列方程如下：消去中间变量uc1(t)，得：原因：后级电路的电流i2影响前级电路的输出电压uc1(t)。负载效应机械系统弹簧—质量—阻尼

6、器系统图2-1表示一个弹簧—质量—阻尼器系统。当外力f(t)作用时，系统产生位移y(t)，要求写出系统在外力f(t)作用下的运动方程式。f(t)是系统的输入，y(t)是系统的输出。列出的步骤如下：（1）运动部件质量用M表示.（2）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有：图2-1弹簧—质量—阻尼器系统（3）f1(t)和f2(t)为中间变量，找出它们与其它因素的关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正比，故有：式中f1(t)——阻尼器阻力；f2(t)——弹簧力。(2.2)式中B——阻尼系数。设弹簧为线性弹簧，则有：f2(t)=Ky(t)(2.3)式中

7、K——弹性系数。(2.1)（4）将式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系统的微分方程式:式中M、B、K均为常数，此机械位移系统为线性定常系统。式(2.4)还可写成:(2.4)(2.4a)则有(2.4b)令机械力学系统的数学模型：相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。提醒注意两级滤波电路网络的数学模型：相似系统例图示为电枢控制式直流电机原理图，设为电枢两端的控制电压，为电机旋转角速度，为折合到电机轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下，为给定输入，为干扰输入，为输出。系统中ed为

8、电动机旋转时电枢两端的反电势；为电动机的电枢电流；为电动机的电磁力矩。机电系统微分方程：(1)输入变量为电压